Diferencia entre revisiones de «Anillo con división»
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* Los campos fintos ( orden primo) son anillos con división | * Los campos fintos ( orden primo) son anillos con división | ||
| − | *El centro Z' de un anillo de división | + | *El centro Z' de un anillo de división K es un cuerpo algebraico, y sus elemento son aquellos que conmutan con cualquier elemento de K. |
*Los anillos de división se pueden clasificar según su dimensión sobre su centro A : Z' | *Los anillos de división se pueden clasificar según su dimensión sobre su centro A : Z' | ||
| − | En el ejemplo del anillo de los cuaternios reales, el centro está formado por todos los elementos de la forma a(1,0,0,0) y se puede establecer un isomorfismo con el conjunto de todos los reales. | + | En el ejemplo del anillo de los cuaternios reales, el centro está formado por todos los elementos de la forma a(1,0,0,0) y se puede establecer un isomorfismo con el conjunto R de todos los números reales. |
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Revisión del 09:35 5 nov 2019
En matemáticas, especialmente, en álgebra abstracta , en la definición de los anillos se exige que haya un conjunto no vacío y dos operaciones binarias llamadas, generalmente, adición y multiplicación; respecto a la primera el conjunto es un grupo aditivo abeliano, respecto a la multiplicación es requisito que sea un semigrupo, no es necesario que sea conmutativo, tampoco exista el elemento identidad multiplicativo. Pero en el caso de haya identidad multiplicativa y cada elemento no nulo tenga su inverso multiplicativo se constituye en un nuevo e importante tipo de anillo.
Sumario
Definición
Un anillo con división [1] es un anillo con unidad, en el que cualquier elemento no nulo tiene su inverso multiplicativo.
Cualquier cuerpo algebraico es un anillo con división conmutativo. Hay anillos de división no conmutativos.
Por el teorema de Wedderburn, todo anillo con división finito es un cuerpo finito.
Casos ilustrativos
- El anillo de las funciones reales continuas definidas en [0; 1] con la suma f+g y el producto fºg(x) = f[g(x)], no es conmutativo, su identidad multiplicativa es I(x) =x.
- Z17 = {0, 1,2,..., 15,16} ( restos de división de enteros por 17); donde 2x9 = 1, 3x6= 1, 4x13= 1, 5x7= 1, 8X15= 1, 10x12= 1, 11x14= 1, 16x16 = 1, 1x1 = 1.Cada elemento no nulo, tiene su inverso multiplicativo-
- El anillo M2(R), con determinante no nulo, es un anillo con división, cuyya identidad multiplicativa talque que los elemento que no están la diagonal principal son cero y en esta unos.
Propiedades
- Todo dominio entero finito es un anillo con división.
- Los campos fintos ( orden primo) son anillos con división
- El centro Z' de un anillo de división K es un cuerpo algebraico, y sus elemento son aquellos que conmutan con cualquier elemento de K.
- Los anillos de división se pueden clasificar según su dimensión sobre su centro A : Z'
En el ejemplo del anillo de los cuaternios reales, el centro está formado por todos los elementos de la forma a(1,0,0,0) y se puede establecer un isomorfismo con el conjunto R de todos los números reales.
Véase también
- Anillos
- Inverso multiplicativo
- Grupo de unidades
Referencias y notas
- ↑ Kostrikin: Introducción al álgebra
Enlaces externos
Fuentes
- Fraleigh. Álgebra abstracta
- Kostrikin:Introducción al álgebra
