Operación en un conjunto

Por operación algebraica en un conjunto C no vacío es una una función que a cualquier par ordenado de dos elementos ( o algunos pares de elementos ) de tal conjunto le hace corresponder exactamente un elemento del mismo conjunto. Desde la matemática escolar estamos familiarizados con la adición, multiplicación, sustracción, división entera de números naturales. De igual modo en un conjunto de matrices de igual dimensión mxn, todas tienen la misma cantidad de filas y de columnas, podemos sumar y en el caso de una matriz mxn podemos multiplicar por otra matriz nxp. Podemos hallar el cuadrado, el cubo de una matriz cuadrada.

Definición

Dado un conjunto no vacío K cualquiera, se llama operación algebraica (o ley de composición) en K, la aplicación arbitraria σ de K x K en K. De tal manera , a cada par ordenado (c, d) de los elementos c y d de K se asigna, de forma unívoca, un tercer elemento σ(c, d) que está también en K. En más de una ocasión, en vez de σ(c, d) se denota c σ d. En la práctica en vez de σ, la operación binaria en K, se designa con los símbolos: *, º, ., +, o hasta una simple yuxtaposición cd.

Ejemplos

1. Dados dos números enteros m y n, se define m*m = máx{m,n}
2. Sean p y q dos números racionales p y q pºq = m +q +pq

Parcialmente definida

Una operación * está parcialmente definida en K, si actúa en una parte propia de KxK. Como el caso de la resta en el conjunto N de los naturales, se puede restar sólo cuando el minuendo no es menor que el sustraendo; la división de los enteros cabe únicamente cuando el dividendo es múltiplo del divisor.

Propiedades

Consideremos los elementos a, b,c del conjunto no vacío K, dos operaciones, *, º en K.

• Clausurativa, cuando para todo par ordenado (a;b) existe un único c, tal que a*b=c. También se dice que * es cerrada en K. Tal el caso de la adición y multiplicación en todos los sistemas numéricos; la resta en N de los naturales no es cerrada, tampoco lo es la división en Z de los enteros. El propósito de que una operación sea cerrada, ha permitido la extensión de los conjuntos; de N en Z, facilita completamente la resta; de Z en Q, facilita plenamente la división; de Q en R⁺ la raíz cuadrada y la solución de una ecuación t² + p = 0, para p racional positivo, exigió la expansión de R de los reales en C de los complejos, dando surgimiento a los números imaginarios . , a los cuales los genios de Newton, Descartes y otros los vieron como rarezas de la fantasía . Y Descartes troqueló el vocablo “imaginario”.
• Conmutativa a*b = b*a
• Asociativa a*(b*c) = a*(b*c)
• Existencia de elemento neutro, hay un elemento e tal que a*e = a
• Existencia de elemento simétrico. para cada a existe otro elemento a' tal que a*a' =
• Distributiva, admitiendo que en K hay dos operaciones * y º cabe a*(bºc )= (a*b) º (aºc)

Operación inversa

En el conjunto K, si para la operación * hay para todo a su elemento simétrico a', diremos que # es la operación inversa de * si.

a # b = a * b', así podemos definir la resta en los enteros y la división en los racionales:

1. así para enteros a-b = a +(-b), la diferencia a menos b es igual a la suma de a con el opuesto de b
2. para racionales: a÷b = a×b^-1, donde b^-1 es el inverso multiplicativo de b ≠ 0; a entre b es igual a a por el inverso multiplicativo de b.
3. la división solo es distributiva por la derecha, (a+b)÷c = a÷c +b÷c; esto procede también para la resta

Bibliografía

• Birkhoff & Mc Lane: Álgebra Moserna
• Álgebra Moderna, Ediciones Schaumm Mc Graw Hill