Monotonía de la Potenciación

Monotonía de la Potenciación

Monotonía de la potenciación

De contenidos anteriores conoces que si:

a > 1 y b > 0; a . b > b

Aplicando esta propiedad a la potenciación resulta:

Si c > 0

Si a > 1; a^c > 1

Si a = 1; a^c = 1

Si 0 < a < 1; a^c < 1

Si c < o

Si a > 1; a^c > 1

Si a = 1; a^c = 1

Si o < a < 1; a^c > 1

Esta propiedad permite demostrar la monotonía de la potenciación.

Definición 1

a) Si a > 1, se cumple: Si x < y, entonces a^x <a^y

b) Si o < a < 1, se cumple: Si x < y, entonces a^x > a^y

Demostración

a) a^y = a^{y - x} . a^x pero y - x > 0 y a > 1

Por lo que necesariamente

a^{y - x} > 1

entonces

a^y = a^{y - x} . a^x > a^x

luego

a^x < a^y

El inciso b se demuestra análogamente.

Ejemplos

Compara las siguientes potencias:

a) 3^-2 y 3⁶

b)0.4² y 0.4³

c)10^-1/2 y 10^-1/4

d)(1/3)^1/3 y (1/3)^1/2

Resolución

a) Como -2 < 6 y la base es mayor que 1; 3^-2 < 3⁶

b) Como 2 < 3 y la base está entre 0 y 1; 0.4² > 0.4³

c) Como -1/2 < -1/4 y la base es mayor que 1; 10^-1/2 < 10^-1/4

d) Como 1/3 <1/2 y la base está entre 0 y 1; (1/3)^1/3 > (1/3)^1/2

La estructura de la definición, garantiza que se cumpla su recíproco

Definición 2

a) Si a > 1, se cumple: Si a^x < a^y, entonces x < y

b) Si 0 < a < 1, se cumple: Si a^x < a^y, entonces x > y

Ejercicios Resueltos

1- Resuelve las siguientes inecuaciones

a)2^{5x - 1} > 16

2^{5x - 1} > 2⁴

5x - 1 > 4

5x > 4 + 1

5x > 5

x > 5/5

x > 1

b)5^{2x + 1} . 5 < 125

     52x + 1 < 53

                 2x + 1 < 3

                     2x < 3 + 1

                     2x < 4

                      x < 4

Veáse también

• Función exponencial

Fuente

• Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
• Libro de texto Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
• Cuaderno Complementario. Matemática 9 no grado. Editorial Pueblo y Educación. 2005.