Monotonía de la Potenciación
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Sumario
Monotonía de la potenciación
De contenidos anteriores conoces que si:
a > 1 y b > 0; a . b > b
Aplicando esta propiedad a la potenciación resulta:
Si c > 0 y a > 1; ac > 1
Si a = 1; ac = 1
Si 0 < a < 1; ac < 1
Si c < o Si a > 1; ac > 1
Si a = 1; ac = 1
Si o < a < 1; ac > 1
Esta propiedad permite demostrar la monotonía de la potenciación.
Definición 1
a) Si a > 1, se cumple: Si x < y, entonces ax <ay
b) Si o < a < 1, se cumple: Si x < y, entonces ax > ay
Demostración
a) ay = ay - x . ax pero y - x > 0 y a > 1
Por lo que necesariamente
ay - x > 1
entonces
ay = ay - x . ax > ax
luego
ax < ay
El inciso b se demuestra análogamente.
Ejemplos
Compara las siguientes potencias:
a) 3-2 y 36
b)0.42 y 0.43
c)10-1/2 y 10-1/4
d)(1/3)1/3 y (1/3)1/2
Resolución
a) Como -2 < 6 y la base es mayor que 1; 3-2 < 36
b) Como 2 < 3 y la base está entre 0 y 1; 0.42 > 0.43
c) Como -1/2 < -1/4 y la base es mayor que 1; 10-1/2 < 10-1/4
d) Como 1/3 <1/2 y la base está entre 0 y 1; (1/3)1/3 > (1/3)1/2
La estructura de la definición, garantiza que se cumpla su recíproco
Definición 2
a) Si a > 1, se cumple: Si ax < ay, entonces x < y
b) Si 0 < a < 1, se cumple: Si ax < ay, entonces x > y
Ejercicios Resueltos
1- Resuelve las siguientes inecuaciones
a)25x - 1 > 16
25x - 1 > 24
5x - 1 > 4
5x > 4 + 1
5x > 5
x > 5/5
x > 1
b)52x + 1 . 5 < 125
52x + 1 < 53
2x + 1 < 3
2x < 3 + 1
2x < 4
x < 4
Veáse también
Fuente
- Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
- Libro de texto Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
- Cuaderno Complementario. Matemática 9 no grado. Editorial Pueblo y Educación. 2005.