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Una relación binara ''R'' sobre ''A'' y ''B'', conjuntos no vacíos, indicada como ''R<sub>A,B</Sub>'', es un subconjunto de ''AxB''. Formalmente hablando sería [[Archivo:R_sub_A_B_subconjunto_A_x_B.gif|middle]]. Entonces, ''R<sub>A,B</sub>'' es un conjunto de pares ''<x,y>'' con [[Archivo:x_en_A.gif|middle]] e [[Archivo:y_en_B.gif|middle]].
  
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A los conjuntos ''A'' y ''B'' se les conoce como '''conjunto de partida''' y '''conjunto de llegada'''. Al conjunto de elementos de ''A'' que aparecen en la relación se llama '''dominio''' y se representa ''' ''Dom(R)'' '''. Al conjunto de elementos de ''B'' que aparecen en la relación se llama '''imagen''' y se representa ''' ''Im(R)'' '''. 
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Las siguientes notaciones son válidas ''xRy'', ''R(x,y)'', [[Archivo:X_y_en_R.gif|middle]], ''Rxy''([[notación polaca]]) y se leen '' '''x''' relacionado con '''y''' según '''R'''. ''
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* ''G = <{0, 1,  2, 3, {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},  {0,1,2}, {0,1,3}, {0,2,3}, {1,2,3}, {0,1,2,3}}, {<0,{}>,  <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>,  <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <2,{1,2}>,  <2,{1,3}>, <2,{2,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>,  <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>}>''.
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Cuyo dígrafo asociado se enuncia:
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Sea ''R'' una relación binaria sobre ''A'' y ''B'', se entiende por '''dígrafo asociado a ''R'' ''', al [[dígrafo|grafo orientado]] ''G=<A U B, R>''; es decir, cuyos vértices serán los elementos de A y B y sus arcos, los pares pertenecientes a la relación en cuestión.
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*  ''G=<{Sol, Mercurio, Venus, Tierra, Luna, Marte, Fobos, Deimos},  {<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>,  <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>,  <Deimos, Marte>}>''
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==Fuentes.==
 
==Fuentes.==
 
# [[Luciano García|García, Luciano]]. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. [[La Habana]], [[1988]]. Capítulo 2.
 
# [[Luciano García|García, Luciano]]. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. [[La Habana]], [[1988]]. Capítulo 2.
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# [http://es.wikipedia.org/wiki/Relación_binaria Relación binaria en [[Wikipedia]]].
  
 
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[[Categoría:Álgebra]]
 
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Revisión del 10:11 12 sep 2011

Relación binaria
Información sobre la plantilla
Concepto:Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama relación binaria a cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB.

Relación binaria. Dícese en Matemática Discreta y Lógica de toda relación R que se establece entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y B y que se define mediante un conjunto de pares <x,y>, válidos para la propia relación con X en A.gif e Y en B.gif y que indica.

Definición.

Una relación binara R sobre A y B, conjuntos no vacíos, indicada como RA,B, es un subconjunto de AxB. Formalmente hablando sería R sub A B subconjunto A x B.gif. Entonces, RA,B es un conjunto de pares <x,y> con X en A.gif e Y en B.gif.

A los conjuntos A y B se les conoce como conjunto de partida y conjunto de llegada. Al conjunto de elementos de A que aparecen en la relación se llama dominio y se representa Dom(R) . Al conjunto de elementos de B que aparecen en la relación se llama imagen y se representa Im(R) .

Evidentemente, también puede darse el caso A=B, donde la relación toma la forma R sub A 2 subconjunto A 2 igual A x A.gif. E

Las siguientes notaciones son válidas xRy, R(x,y), X y en R.gif, Rxy(notación polaca) y se leen x relacionado con y según R.

Ejemplos.

  1. A={0, 1, 2, 3}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5}, RA,B={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <0,4>, <0,5>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>, <2,3>, <2,4>, <2,5>, <3,4>, <3,5>}.
  2. A={0, 1, 2, 3}, B igual rho A.gif, RA,B={<0,{}>, <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>, <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>, <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>}.
  3. A={0,1,2,3}, RA2=A2={<0, 0>, <0, 1>, <0, 2>, <0, 3>, <1, 0>, <1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 0>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.
  4. A={0,1,2,3}, RA2=A2={<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}.
  5. Sea C los siguientes cuerpos del Sistema Solar Interior: C={Sol, Mercurio, Venus, Tierra, Luna, Marte, Fobos, Deimos}, se define la relación x gira alrededor de y como G={<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}.

Representación.

Las relaciones binarias pueden representarse de manera explícita como vimos en los ejemplos anteriores o de forma implícita en tanto también son conjuntos. No obstante existen otras formas de representarlas que ayudan a visualizar de modo más fácil algunas propiedades que pueden caracterorarlas. Entre las más notables están la representación tabular y la del dígrafo asociado, por lo que en el último caso puede llegar a obtenerse un esquema gráfico de las relaciones.

Representación tabular.

La representación tabular o matricial de las relaciones binarias es simple y sigue la siguiente estructura.

Sea R una relación binaria sobre A y B:

  • Se hace una tabla de n+1 filas por m+1 columnas, donde n es la cantidad de elementos de A y m, la de B.
  • En la celda superior izquierda se rotula el nombre de la relación R o un símbolo.
  • Se etiquetan y asocian los nombres de cada fila, a partir de la segunda, con cada elemento de A.
  • Se etiquetan y asocian los nombres de cada columna, a partir de la segunda, con cada elemento de B.
  • Para cada celda de la fila i, columna j: si iRj, se indica 1; de lo contrario, 0.

Dígrafo asociado.

Sea R una relación binaria sobre A y B, se entiende por dígrafo asociado a R , al grafo orientado G=<A U B, R>; es decir, cuyos vértices serán los elementos de A y B y sus arcos, los pares pertenecientes a la relación en cuestión.

Ejemplos.

Para el ejemplo 1, su representación tabular es:

R 0 1 2 3 4 5
0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1
2 0 0 0 1 1 1
3 0 0 0 0 1 1

El dígrafo asociado:

  • G = <{0,0',1,1',2,2',3,3',4',5'}, {<0,1'>, <0,2'>, <0,3'>, <0,4'>, <0,5'>, <1,2'>, <1,3'>, <1,4'>, <1,5'>, <2,3'>, <2,4'>, <2,5'>, <3,4'>, <3,5'>}>.

Y su representación gráfica:

Digrafo asociado ejemplo1.png

Nótese que a los elementos del conjunto B se les agregó un apóstrofo para distinguirlos de los que son iguales en el A.

Ejemplo 2:

R {} {0} {1} {2} {3} {0,1} {0,2} {0,3} {1,2} {1,3} {2,3} {0,1,2} {0,1,3} {0,2,3} {1,2,3} {0,1,2,3}
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0

El dígrafo asociado:

  • G = <{0, 1, 2, 3, {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {0,1,2}, {0,1,3}, {0,2,3}, {1,2,3}, {0,1,2,3}}, {<0,{}>, <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>, <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <2,{1,2}>, <2,{1,3}>, <2,{2,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>, <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>}>.

Y su representación gráfica:

Digrafo asociado ejemplo2.png

Ejemplo 3:

R 0 1 2 3
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1

Cuyo dígrafo asociado sería:

  • G=<{0,1,2,3}, {<0, 0>, <0, 1>, <0, 2>, <0, 3>, <1, 0>, <1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 0>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}>

para un posible aspector visual:

  • Digrafo asociado ejemplo3.png

Ejemplo 4:

R 0 1 2 3
0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
2 0 0 1 0
3 0 0 0 1

El dígrafo asociado:

  • G=<{0,1,2,3}, {<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}>

para verse:

  • Digrafo asociado ejemplo4.png

Ejemplo 5:

R Sol Mercurio Venus Tierra Luna Marte Fobos Deimos
Sol 0 0 0 0 0 0 0 0
Mercurio 1 0 0 0 0 0 0 0
Venus 1 0 0 0 0 0 0 0
Tierra 1 0 0 0 0 0 0 0
Luna 0 0 0 1 0 0 0 0
Marte 1 0 0 0 0 0 0 0
Fobos 0 0 0 0 0 1 0 0
Deimos 0 0 0 0 0 1 0 0

Cuyo dígrafo asociado se enuncia:

  • G=<{Sol, Mercurio, Venus, Tierra, Luna, Marte, Fobos, Deimos}, {<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}>

que tiene el siguiente aspecto:

  • Digrafo asociado ejemplo5.png

Fuentes.

  1. García, Luciano. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. La Habana, 1988. Capítulo 2.
  2. Relación binaria en Wikipedia.
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