Diferencia entre revisiones de «Sistema de numeración»
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{{Materia|nombre=Sistemas numéricos
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|nombre=Sistemas de numeración
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|descripción =  
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|descripción = Conjunto de reglas y convenios que permiten la representación de todos los [[número]]s, a partir de un grupo limitado de [[símbolo]]s.
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|campo a que pertenece=Matemática y Computación
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|campo a que pertenece=[[Matemática]] y [[Computación]]
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|principales exponentes=}}
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|principales exponentes=
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'''Sistema Numérico'''. Conjunto de reglas y convenios que permiten la representación de todos los números, a partir de un grupo limitado de símbolos.  
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}}
  
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==Tipos==
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'''Sistema de numeración'''. Conjunto de reglas y convenios que permiten la representación de todos los [[número|números naturales]]s, en principio, a partir de una colección  limitada de [[símbolo| símbolos básicos]]s.
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*'''Posicional:''' Es aquel en que el valor de la cifra cambia según la posición que ocupa la cifra dentro del número. Ej.: sistemas binario, decimal, Hexadecimal, octal, etc.
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==Tipos==  
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*'''No posicional:''' Es aquel en el que el valor de la cifra no depende  de la posición que ocupe dentro del número .Lo que indica que existen dos tipos de valores de  las cifras Ej.:Los [[Números Romanos|números romanos]].
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*'''''Posicional:''''' Es aquel en que el valor de la cifra cambia según la posición que ocupa la cifra dentro del [[número]]. Ejemplos de ellos son los: [[Sistema Binario|sistemas binario]], [[Sistema decimal|decimal]], [[Sistema hexadecimal|hexadecimal]], [[Sistema octal|octal]], etc.
 +
*'''''No posicional:''''' Es aquel en el que el valor de la cifra no depende  de la posición que ocupe dentro del número. Lo que indica que existen dos tipos de valores de  las cifras. Un ejemplo de ello son los [[Números Romanos|números romanos]].
  
 
==Base==
 
==Base==
 
Es igual a la cantidad de dígitos diferentes que posee el sistema, a partir de los cuales se puede representar cualquier número.  
 
Es igual a la cantidad de dígitos diferentes que posee el sistema, a partir de los cuales se puede representar cualquier número.  
 
   
 
   
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Ejemplos:
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*'''''[[Sistema decimal|Sistema Decimal]]''''': 10 dígitos: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)   
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*Sistema Decimal: 10 dígitos: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)   
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*'''''[[Sistema Binario]]''''': 2 dígitos: (0,1)
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*Sistema Binario: 2 dígitos: (0,1)
 
  
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==Sistemas Numéricos Posicionales==
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===Sistemas Numéricos Posicionales===
 
   
 
   
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En el sistema de números decimales se dice que la base o raíz es 10 debido a que usa 10 dígitos, y los coeficientes se multiplican por potencias de 10.  
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En el sistema de [[Números decimales|números decimales]] se dice que la base o raíz es 10 debido a que usa 10 dígitos, y los coeficientes se multiplican por potencias de 10.  
  
−
El sistema binario únicamente posee dos valores posibles que son 0 y 1, en los cuales cada coeficiente AJ se multiplica por 2J, como ejemplo tendremos el desarrollo del número binario 11010.11 el cual será representado por la siguiente manera :  
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El [[Sistema Binario|sistema binario]] únicamente posee dos valores posibles que son 0 y 1, en los cuales cada coeficiente ''AJ'' se multiplica por ''2J'', como ejemplo se tiene el desarrollo del número binario 11010.11 el cual será representado por la siguiente manera :  
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   1*24+1*23+0*22+1*21+0*20+1*2-1+1*2-2  
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  16+8+0+2+0+0.5+0.25 = 26.75
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<nowiki>1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2 - 1 + 1 * 2 - 2
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Por lo tanto tenemos que un número en un sistema de base(r) tiene coeficientes multiplicados por potencias de (r) y quedaría representado de la siguiente manera :
 
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an*rn+ an*rn+ . . . + a2*r2+ a1*r1+ a0*r0+ a-1*r-1+ . . . + a-m*r-m
 
  
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==Sistema Binario==
+
16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 = 26.75</nowiki>
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Por lo tanto tenemos que un [[número]] en un sistema de base(''r'') tiene coeficientes multiplicados por potencias de (''r'') y quedaría representado de la siguiente manera :
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<nowiki>an * rn + an * rn+ . . . + a2 * r2 + a1 * r1 + a0 * r0 + a - 1 * r - 1 + . . . + a - m * r - m</nowiki>
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===Sistema Binario o Sistema Diádico===
 
   
 
   
−
En el sistema binario la base es 2 y sólo se requieren dos cifras, el 0 y el 1 por consiguiente para representar un número. Las cifras 0 y 1 tienen el mismo significado que en el sistema decimal, pero difieren en cuanto a la posición que ocupan. En el sistema binario el dígito individual representa el coeficiente de las potencias de dos (2) en lugar de las de diez (10), como sucede en el sistema decimal. El valor de cualquier número expresado en el sistema numérico binario es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por las potencias de 2 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.
+
En el [[Sistema Binario|sistema binario]] la base es 2 y sólo se requieren dos cifras, el 0 y el 1 por consiguiente para representar un número. Las cifras 0 y 1 tienen el mismo significado que en el sistema decimal, pero difieren en cuanto a la posición que ocupan.  
  
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Ejemplo: El número decimal 19 se escribe en representación binaria como 10011 ya que:
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En el sistema binario el dígito individual representa el coeficiente de las potencias de dos (2) en lugar de las de diez (10), como sucede en el sistema decimal. El valor de cualquier número expresado en el sistema numérico binario es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por las potencias de 2 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.
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:10011=1x24 + 0x23 + 0x22+1x21+1x20
 
−
:10011= 16 + 0 + 0 + 2+ 1 =19
 
  
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==Sistema Decimal==
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Un ejemplo ilustrativo lo constituye el [[Números decimales|número decimal]] 19, que se escribe en representación binaria como 10011 ya que:
  
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Es el sistema utilizado habitualmente, base 10 y tiene diez dígitos, del 0 al 9. El valor de cualquier número expresado en este sistema es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por la potencia de 10 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número. Para escribir un número mayor que 9, asignaremos un significado a la posición de cada cifra en el número completo.
 
 
   
 
   
−
Ejemplo: El número 1264
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:10011= 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
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:1264= 1x103+ 2x102+ 6x101+ 4x100
+
:10011= 16 + 0 + 0 + 2+ 1 =19
  
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==Sistema Octal==
+
===Sistema Decimal===
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Es el sistema utilizado habitualmente, base 10 y tiene diez dígitos, del 0 al 9. El valor de cualquier número expresado en este sistema es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el [[número]] en cuestión por la potencia de 10 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.
  
−
De la misma manera que el sistema decimal, el sistema octal necesita ocho cifras para poder expresar o representar cualquier número. La base de éste sistema es 8 .Está formado por los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7.
+
Para escribir un número mayor que 9, se asigna un significado a la posición de cada cifra en el número completo.  
 +
 +
Un ejemplo de ello es el número 1264:
  
−
==Sistema Hexadecimal==
+
:1264= 1 x 10<sup>3</sup> + 2 x 10<sup>2</sup> + 6 x 10<sup>1</sup> + 4 x 10<sup>0</sup>
−
Este sistema necesita 16 cifras como base para expresar o representar cualquier número, los primeros diez dígitos de este sistema coinciden con los del sistema numérico decimal y los restantes seis dígitos se toman como las seis primeras letras (mayúsculas) del alfabeto: A,B,C,D,E,F, o sea: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F; por primera vez aparecerán combinaciones de dígitos, uno de los cuales puede ser una letra pero que para los efectos del sistema Hexadecimal es considerado un número. Al igual que en los dos casos anteriores, el valor de cualquier número expresado en el sistema numérico hexadecimal es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por la potencia de 16 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.
 
  
−
Ejemplo 1-1:
+
La adopción, uso y difusión de esta base, tal como expresó el matemático ruso Nikolai Luzin, es debido a la estructura zoomórfica del ser humano que tiene 10 dedos en las dos manos.  Primeramente, una biyección del conjunto de dedos con los objetos a contar. Ningún objeto, nada, o cero. Hasta 9 objetos, pero si había 10 objetos , chocaban las dos manos, que significaba un nuevo resultado: lo que se ha llamado una decena. Se dio un salto dialéctico, diez objetos forman una nueva unidad, de las decenas. Luego diez decenas , el segundo salto dialéctico, la centenas. En seguida 10 centenas, un millar. Habiendo organizado un resultado se tenía, por decir 4 unidades, 2 decenas, 7 centenas, 3 millares. Para simplificar o compactar, se acudía a las posiciones de las cifras: ''mcdu''; en este ejemplo, resulta 3724. Un gran hallazgo fue la importancia de la posición y de los valores relativo y absoluto de una cifra. El origen de las cifras o guarismos o dígitos que se usan ocurre en la cultura india; pero los árabes aportan el símbolo del cero y lo llevan a Europa, n y posteriormente llega a América, por lo que cabe llamar las ''cifras indoarábigas'' a este manojo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
−
Para comprender mejor todo lo anterior vamos a ilustrar lo dicho con un número expresado en cada uno de los tres sistemas numéricos mencionados. Tomemos el número 154, escrito en el sistema numérico decimal.
 
  
−
154 = 1(10*2) + 5(10*1) + 4(10*0)
+
===Sistema Octal===
−
= 1(100) + 5(10) + 4(1)
+
De la misma manera que el [[Sistema decimal|sistema decimal]], el [[sistema octal]] necesita ocho cifras para poder expresar o representar cualquier [[número]]. La base de este sistema es 8. Está formado por los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7.
−
= 100 + 50 + 4
 
−
= 154
 
  
−
Este mismo número en el sistema binario se representa por la cadena de 8 bits 10011010
+
==Sistema Hexadecimal==
−
10011010 = 1(2*7) + 0(2*6) + 0(2*5) + 1(2*4) + 1(2*3) + 0(2*2) + 1(2*1) + 0(2*0)
+
Este sistema necesita 16 cifras como base para expresar o representar cualquier [[número]], los primeros diez dígitos de este sistema coinciden con los del sistema numérico decimal y los restantes seis dígitos se toman como las seis primeras letras (mayúsculas) del [[alfabeto]]: A,B,C,D,E,F, o sea: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F.
−
= 1(128) + 0(64) + 0(32) + 1(16) + 1(8) + 0(4) + 1(2) + 0(1)
 
−
= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0
 
−
= 154
 
−
 
 
−
En el sistema numérico hexadecimal se escribe como 9A
 
−
9A = 9(16*1) + A(16 *0)
 
−
= 9(16) + 10(1)
 
−
= 144 + 10
 
−
= 154
 
  
−
Por lo tanto, 154 = 10011010b = 9Ah (La b y la h significan que el número está expresado en el sistema binario y en el hexadecimal, respectivamente). Como se ve, la cadena de dígitos necesario para representar un número aumenta al disminuir la base del sistema. La ventaja del sistema binario consiste en que el valor de sus dígitos (llamados frecuentemente bits) coincide con los valores de 1 y 0 que se utilizan en la Electrónica Digital para caracterizar los niveles alto y bajo de las señales con que operan normalmente los circuitos lógicos. Su inconveniente, además de no ser tan familiar como el sistema decimal, es que los números requieren cadenas muy largas para representarlos. Para resolver esta última desventaja y a la vez conservar su ventaja, se puede utilizar un sistema numérico cuya base sea mayor que 2 pero que sea una potencia de ese número. La base que resulta más conveniente es 2*4, o sea 16, que es precisamente la base del sistema numérico hexadecimal.
+
Por primera vez aparecerán combinaciones de dígitos, uno de los cuales puede ser una letra pero que para los efectos del [[sistema hexadecimal]] es considerado un número. Al igual que en los dos casos anteriores, el valor de cualquier número expresado en el sistema numérico hexadecimal es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por la potencia de 16 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.
  
 
==Conversión de números==
 
==Conversión de números==
−
Este método consiste en dividir reiteradas veces un número entre la base del sistema que se desea, hasta encontrar un cociente tal que no sea divisible por el divisor o la base. Después  se toma éste último cociente y los restos, de derecha a izquierda, formándose así el número en el sistema solicitado.  
+
Este método consiste en dividir reiteradas veces un [[número]] entre la base del sistema que se desea, hasta encontrar un cociente tal que no sea divisible por el divisor o la base. Después  se toma éste último cociente y los restos, de derecha a izquierda, formándose así el número en el sistema solicitado.  
  
 
===Decimal-Binario===
 
===Decimal-Binario===
−
Un número binario (x) puede convertirse en decimal efectuando la suma de las potencias cuyo valor es uno.  
+
* Un número binario (x) puede convertirse en decimal efectuando la suma de las potencias cuyo valor es uno.  
  
 
Ejemplo :  
 
Ejemplo :  
−
(1010.011)2 = 1*2³+0*2²+1*2¹+0*2º+0*2־¹+1*2־²+1*2־³
+
<nowiki>(1010.011)2 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2º + 0 * 2־¹+1*2־²+1*2 ־³
−
                    = 8+0+2+0+0+0.25+0.125 = 10.375
 
  
−
Para los números expresados en base (r) podríamos efectuar su conversión a decimal multiplicando cada coeficiente por la potencia correspondiente de r y sumando.  
+
= 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0.25 + 0.125 = 10.375
  
−
Ejemplo :
+
</nowiki>
−
(630.4)8 = 6*82+3*81+0*80+4*8-1
 
−
              = 384+24+0.5 = 408.5
 
  
−
Cuando deseamos efectuar la conversión de decimal a binario o a cualquier otro sistema con base r es mas conveniente si el número se separa en parte entera y en una parte fraccionaria, y la conversión de cada parte se efectúa por separado :
+
* Para los números expresados en base (''r'') se podría efectuar su conversión a decimal multiplicando cada coeficiente por la potencia correspondiente de ''r'' y sumando.  
−
 
 
−
Ejemplo :
 
−
Convertir el número (41)10 a binario
 
−
 
 
−
                41    1      LSB
 
−
                20    0
 
−
                10    0
 
−
                5    1
 
−
                2    0
 
−
                1    1      MSB
 
−
      (41)10 = (101001)2
 
−
 
 
−
Para convertir cualquier entero decimal en cualquier sistema de base r la división se hace entre r en lugar de 2.  
 
  
 
Ejemplo :  
 
Ejemplo :  
−
Convertir el número (153)10 a base 8
 
−
 
 
−
153    1  LSB
 
−
198    3
 
−
  2    2  MSB
 
−
          (153)10=(231)8
 
  
−
Para convertir una fracción decimal a binario, el sistema que se sigue es similar al que utilizamos para los enteros, sin embargo, se usa la multiplicación en lugar de la división, y los enteros se acumulan en lugar de los residuos.  
+
<nowiki>(630.4)8 = 6 * 82 + 3 * 81 + 0 * 80 + 4 * 8-1
  
−
Ejemplo :
 
−
convertir (0.6875)10 a base 2
 
−
Entero      Fracción        Coeficiente
 
−
  0.6875    *2 1 0.3750 a-1      =  1
 
−
  0.3750    *2 0 0.75 a-2        =  0
 
−
  0.75      *2 1 0.5 a-3        =  1
 
−
  0.5      *2 1 0.0 a-4        =  1
 
−
  (0.6875)10=(0.1011)2
 
  
−
Cuando deseamos convertir una fracción decimal en número expresado en base r, el procedimiento es similar, la multiplicación se hace con r en lugar de 2 y los coeficientes se encuentran con los enteros.
 
  
−
Ejemplo :
+
= 384 + 24 + 0.5 = 408.5</nowiki>
−
convertir (0.513)10 a base 8
+
   
−
 
 
−
      Entero      Fracción    Coeficiente
 
−
      0.513    *840.104 a-1    = 4
 
−
      0.104    *800.832 a-2    = 0
 
−
      0.832    *860.656 a-3    =  6
 
−
      0.656    *850.248 a-4    =  5
 
−
      0.248    *810.984 a-5     =  1
 
−
      0.984    *870.872 a-6    = 7
 
  
−
Cuando deseamos hacer la conversión de un número decimal de una parte entera y una parte fraccionaria la conversión se hace por separado y posteriormente se combinan las dos respuestas.
+
* Cuando se desea efectuar la conversión de decimal a binario o a cualquier otro sistema con base ''r'' es más conveniente si el [[número]] se separa en parte entera y en una parte fraccionaria, y la conversión de cada parte se efectúa por separado.
−
 
 
−
Ejemplo :
 
−
(41.6875)10 -> (101001.1011)2
 
 
    
 
    
 +
* Para convertir cualquier entero decimal en cualquier sistema de base ''r'' la división se hace entre ''r'' en lugar de 2.
  
−
''Ejemplo:'' Necesitamos convertir el número 14 en binario.  
+
* Para convertir una fracción decimal a binario, el sistema que se sigue es similar al que utilizamos para los enteros, sin embargo, se usa la multiplicación en lugar de la división, y los enteros se acumulan en lugar de los residuos.  
  
−
Para ello dividimos el número 14 por 2, que es la base del sistema en el que lo queremos representar, tantas veces como sea posible hasta llegar a un resto que no se pueda dividir más. En cada división, si no hay resto se coloca “0”  y si queda algún resto se coloca “1”.  Si este proceso se realiza manual  es mucho más fácil identificar el número binario resultante. La base del sistema al cual se hizo la conversión se coloca en el extremo inferior derecho. De modo que tomamos de derecha a izquierda el último cociente y los otros restos. Vea como sigue:
+
* Cuando se desea convertir una fracción decimal en número expresado en base ''r'', el procedimiento es similar, la multiplicación se hace con ''r'' en lugar de 2 y los coeficientes se encuentran con los enteros.  
−
14/2=7    7/2=3    3÷2=1— (0 1 1  — restos y el último cociente es 1.).  
 
  
−
De modo que el número '''14''' en decimal se representa '''11102''' en binario.
+
* Cuando se desea hacer la conversión de un [[Números decimales|número decimal]] de una parte entera y una parte fraccionaria la conversión se hace por separado y posteriormente se combinan las dos respuestas.  
  
 
===Decimal-Octal===
 
===Decimal-Octal===
−
Para ello realizamos una operación parecida a la conversión anterior. Procedemos a dividir el número en cuestión por la base del sistema a convertir.
+
Para ello se realiza una operación parecida a la conversión anterior. Se procede a dividir el [[número]] en cuestión por la base del sistema a convertir.  
−
 
 
−
''Ejemplo:'' tenemos el número 243.  
 
  
−
Al dividirlo por 8 que es la base del sistema octal, resulta ser 30, con un primer resto de 3, al proceder a dividir 30 entre 8, resulta ser 24, por lo que el resto es 6 y el último cociente es 3. Tomando de derecha a izquierda queda  363. De modo que el 243 en el sistema decimal es 3638 en el sistema octal
+
Si se toma como ejemplo el número 243, al dividirlo por 8 que es la base del [[sistema octal]], resulta ser 30, con un primer resto de 3; al proceder a dividir 30 entre 8, resulta ser 24, por lo que el resto es 6 y el último cociente es 3. Tomando de derecha a izquierda queda  363. De modo que el 243 en el [[sistema decimal]] es 3638 en el sistema octal 243/8=30  30/8=3  (3  6 restos)  3 — ultimo cociente.
−
243/8=30  30/8=3  (3  6 restos)  3 — ultimo cociente.
 
  
 
===Decimal-Hexadecimal===
 
===Decimal-Hexadecimal===
  
−
''Ejemplo:'' Tenemos el número 243 y deseamos convertirlo en hexadecimal. Procedemos de manera similar a las conversiones anteriores.
+
Un ejemplo ilustrativo de esta conversión se repite con el [[número]] 243. Si se desea convertirlo en hexadecimal, se debe proceder de manera similar a las conversiones anteriores.
  
−
Dividimos el número 243 por la base 16. Al hacerlo obtenemos un cociente de 15 con un resto de 3, de modo que tomamos de derecha a izquierda:último cociente(15) y el resto que es 3. En hexadecimal el 15 se representa por la letra F, completándose el resultado. El número 243 en decimal corresponde al F316 en hexadecimal.
+
Se divide el número 243 por la base 16. Al hacerlo, se obtiene un cociente de 15 con un resto de 3, de modo que se toma de derecha a izquierda: último cociente(15) y el resto que es 3. En hexadecimal el 15 se representa por la letra F, completándose el resultado. El número 243 en decimal corresponde al F316 en hexadecimal.
  
 
===Números octales y hexadecimales===
 
===Números octales y hexadecimales===
 +
Las conversiones entre código binario, octal y hexadecimal es muy importante en las comparaciones digitales, ya que cada dígito octal corresponde a tres dígitos binarios y a cada dígito hexadecimal corresponde cuatro dígitos binarios.
 +
 +
<nowiki>(10110001101011.111100000110)2 -> (26153.7406)8</nowiki>
  
−
Las conversiones entre código binario, octal y hexadecimal es muy importante en las comparaciones digitales, ya que cada dígito octal corresponde a tres dígitos binarios y a cada dígito hexadecimal corresponde cuatro dígitos binarios.
+
Cuando se desea convertir un número binario a hexadecimal, el proceso es similar excepto que el número binario se divide en grupos de 4.  
−
(10110001101011.111100000110)2 -> (26153.7406)8
 
  
−
Cuando deseamos convertir un número binario a hexadecimal, el proceso es similar excepto que el número binario se divide en grupos de 4.
+
<nowiki>(10110001101011.11110010)2 -> (2C6B.F2)16</nowiki>
−
(10110001101011.11110010)2 -> (2C6B.F2)16  
 
  
 
La conversión a hexadecimal en binario se realiza con un procedimiento inverso al anterior esto es; cada dígito octal se convierte en su equivalente binario de tres dígitos y cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de cuatro dígitos.
 
La conversión a hexadecimal en binario se realiza con un procedimiento inverso al anterior esto es; cada dígito octal se convierte en su equivalente binario de tres dígitos y cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de cuatro dígitos.
Línea 180: Línea 123:
 
===De binario a  decimal===
 
===De binario a  decimal===
 
Convertir el número 111100112 a decimal.
 
Convertir el número 111100112 a decimal.
−
El número binario contiene ocho dígitos, por lo que debemos realizar una suma de cada dígito multiplicado por 2  elevado a la potencia correspondiente comenzando por 0, 1, 2 ….n, hasta el último digito.  
+
El número binario contiene ocho dígitos, por lo que se realiza una suma de cada dígito multiplicado por 2  elevado a la potencia correspondiente comenzando por 0, 1, 2 …n, hasta el último digito.  
  
−
Esta operación la realizamos de derecha a izquierda.  
+
Esta operación se realiza de derecha a izquierda.  
  
−
En este caso sería: 1x20+ 1x21+ 0x22+ 0x23+ 1x24+1x25+ 1x26+ 1x27=1+2+0+0+16+32+64+128=243     
+
En este caso sería: 1x20 + 1x21 + 0x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26 + 1x27 = 1 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 + 64 + 128 =243     
 
De modo que el número 111100112 es igual a 243 en el sistema decimal.
 
De modo que el número 111100112 es igual a 243 en el sistema decimal.
−
             
+
                 
 
===De octal a decimal===
 
===De octal a decimal===
−
Se realiza demanera similar a la anterior pero teniendo en cuenta que la base del sistema ahora es ocho (8).
+
Se realiza de manera similar a la anterior pero teniendo en cuenta que la base del sistema ahora es ocho (8).
 
   
 
   
−
322258= 5x80+ 2x81+ 2x82+ 2x83+ 3x84= 5+16+128+1024+12288  
+
322258 = 5x80 + 2x81 + 2x82 + 2x83 + 3x84 = 5 + 16 + 128 + 1024 + 12288
−
=5+16+128+1024+12288=13461
+
= 5 + 16 + 128 + 1024 + 12288 = 13461
  
 
===De hexadecimal a decimal===
 
===De hexadecimal a decimal===
−
Esta operación la realizamos de derecha a izquierda. Tomamos cada dígito, lo multiplicamos por la base 8 elevada primero a 0, a uno, ect. Debemos recordar que el valor de F en el sistema decimal es 15.
+
Esta operación se realiza de derecha a izquierda. Se toma cada dígito, se multiplica por la base 8 elevada primero a 0, a uno, ect. El valor de F en el sistema decimal es 15.
−
Comenzamos: FF16= Fx160+Fx161=15x160+15x161=15x1+15x16=15+240=255
 
−
De modo que el número FF de base 16 es equivalente al 255 de base 10.
 
  
−
==Operaciones en Sistemas Numéricos==
+
Se comienza: FF16 = F x 160 + F x 161 =15 x 160 + 15 x 161 = 15 x 1 + 15 x 16 = 15 + 240 = 255
−
 
 
−
Complementos
 
−
Este tipo de operación se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la operación de sustracción y para manipulaciones lógicas.
 
−
   
 
−
Existen 2 tipos de complementos:
 
−
===a)  El complemento de r.===
 
−
El complemento de r de un número positivo N en base r  con una parte entera de n dígitos, será definido como el complemento de r  a n y se define como rn-N;
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 10 de (52520)10
 
−
  105-52520=47480
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 10 de (0.3267)10
 
−
100-0.3267=0.6733
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 10 de (25.639)10
 
−
102-25.639=74.361
 
−
 
 
−
Ejemplo :
 
−
Obtener el complemento de 2 de (101100)2
 
−
26-(101100)2 = (100000)2-(101100)2=(0.1010)2
 
−
 
 
−
Por lo tanto tendremos que el complemento de 10 de un número decimal se  puede formar dejando todos los ceros significativos sin cambios se resta  el primer dígito del cero menos significativo de 10 y, entonces se  restan todos los pocos dígitos menos significativos menores de 9.
 
−
 
 
−
El  complemento de 2 puede formarse dejando todos los ceros menos  significativos y el primer dígito diferente de 0 sin cambio, entonces se  reemplazan los 1 por 0 y los 0 por 1 en los otros dígitos mas  significativos.
 
−
 
−
===b)  El complemento de r-1.===
 
−
Para un número positivo N en base r con una parte entera de n dígitos y una parte fraccionaria de n dígitos y una parte fraccionaria de m dígitos, el complemento de r-1 de m se define como rn-r-m-N.
 
−
 
 
−
Ejemplos :
 
−
Obtener el complemento de 9 de (52520)10
 
−
105-100-52520=47479
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 9 de (0.3267)10
 
−
100-10-4-0.3267=0.6732
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 9 de (25.639)10
 
−
102-10-3-25.639=74.36
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 1 de (101100)2
 
−
26-20-101100=10011
 
−
 
 
−
Obtener el complemento de 1 de (0.0110)2
 
−
20-2-4-0.0110=
 
−
 
 
−
Por lo tanto deducimos que:
 
−
El complemento de 9 de un número decimal se forma simplemente al restar cada dígito de 9. Y el complemento de 1 de un número binario es mas simple, ya que solo consiste en cambiar los 1 por 0 y los 0 por 1. Puesto que el complemento de r-1 es fácil de obtener, algunas veces es conveniente usarlo cuando se desea el complemento de r.
 
−
 
 
−
===Sustracción con complemento de r.===
 
−
 
 
−
La sustracción de 2 números positivos (M-N), ambos en base r, puede hacerse como sigue:
 
−
1.- Agréguese el minuendo m al complemento de r del sustraendo n.
 
−
2.- Verifique el resultado que se obtuvo en el paso 1 para el caso que exista un acarreo final.
 
−
a)  Si existe un acarreo final, descártese.
 
−
b)  Si no existe un acarreo final, tómese el complemento de r de número que se obtuvo en el paso 1 y colóquese un signo negativo en frente.
 
−
 
 
−
Ejemplo :
 
−
Utilizando el complemento 10 reste 72532-03250
 
−
complemento 10 de 03250=96750
 
−
72532-96750=69282
 
−
como no existe acarreo final se utiliza el paso b).
 
−
 
 
−
Complemento 10 de 69282=27468
 
−
03250-27468=30718
 
−
complemento 10 de 30718=69282
 
−
resultado -69282
 
−
 
 
−
Utilizando el complemento 2 realice M-N con los números binarios dados.
 
−
M=1010100
 
−
N=1000100
 
−
 
 
−
Complemento de N = 0111100
 
−
  0111100
 
−
  1010100
 
−
  -----------
 
−
1 0010000
 
−
      1011
 
−
      1110
 
−
    ------
 
−
      0101
 
−
 
 
−
      1011
 
−
      0001
 
−
    ------
 
−
      1100
 
−
 
 
−
Resultado = -0011
 
−
 
 
−
 
 
−
===Sustracción con complemento (r-1).===
 
−
El procedimiento para esta operación es exactamente el mismo que para el complemento a r excepto por una variación llamada acarreo final.
 
−
 
 
−
Para la resta de M-N en base r puede calcularse tomando en cuenta los siguientes puntos:
 
−
1.- Agréguese el minuendo M al complemento de (r-1) del sustraendo N.
 
−
2.- Verifique el resultado que se obtuvo en el paso 1 para un acarreo final.
 
−
 
 
−
a)  Si ocurre un acarreo final agréguese uno al dígito menos significativo (acarreo final        desplazado).
 
−
b)  Si no ocurre un acarreo final tómese el complemento de (r-1) del número obtenido en le paso 1 y colóquese al frente un signo negativo.
 
−
 
 
−
Ejemplo : 
 
−
Realice el complemento de r-1 de M-N, M=72532 y N=03250
 
−
complemento 9 de N = 96749
 
−
  72532
 
−
  96749
 
−
--------
 
−
1 69281
 
−
como existe un acarreo final se realiza el paso a)
 
−
69281+1=69282
 
−
 
 
−
Realice el complemento de r-1 de M-N, N=03250 y M=72532
 
−
complemento 9 de N = 72532
 
−
  03250
 
−
  27467
 
−
---------
 
−
  30717
 
−
como no existe acarreo final se realiza el paso b)
 
−
complemento 9 de 30717=69282
 
−
Resultado  -69282
 
−
 
 
−
Ejemplo :
 
−
Obtener M-N para los siguiente valores, M=1010100 y N=1000100
 
−
complemento 1 de 1000100 = 0111011
 
−
  1010100
 
−
  0111011
 
−
  -----------
 
−
1 0001111
 
−
como existe un acarreo final se realiza el paso a)
 
−
0001111
 
−
      1
 
−
----------
 
−
0010000
 
  
 +
De modo que el número FF de base 16 es equivalente al 255 de base 10.
  
 
==Suma binaria==
 
==Suma binaria==
 
Todas las operaciones se hacen a través de la suma binaria (operación fundamental).  
 
Todas las operaciones se hacen a través de la suma binaria (operación fundamental).  
  
−
Tabla de la suma
+
'''Tabla de la suma'''
 
{| class="wikitable" border="1"
 
{| class="wikitable" border="1"
 
|-
 
|-
Línea 362: Línea 174:
 
| 1
 
| 1
 
|}  
 
|}  
−
Observamos que sólo hay acarreo cuando le damos el valor de uno (1) a las dos variables.       
+
Tal como se observa en la tabla, sólo hay acarreo cuando se le da el valor de uno (1) a las dos variables.       
  
 
==Resta binaria==
 
==Resta binaria==
−
La resta consiste en una suma negada (o sea su                   complemento).  
+
La resta consiste en una suma negada (o sea su complemento). Si se desea restar '''A''' - '''B''', por ejemplo, los pasos a seguir serían:
  
−
''Ejemplo:'' Deseamos restar A-B. Pasos para realizarla:
+
* Se tomamos el número '''A''' tal como está.  
−
*Tomamos el número A tal como está.  
+
* El número '''B''' se complementa.  
−
*El número B lo complementamos.  
+
* Se realiza una suma de ambos valores.
−
*Realizamos una suma de ambos valores.
+
* Al resultado se le agrega 1.  
−
*Al resultado se le agrega 1.  
+
* El acarreo se elimina.
−
*El acarreo se elimina.
 
  
 
==Fuentes==
 
==Fuentes==
−
*[http://www.encuentra.com/articulos/sistemasnumericos.php Encuentra]
+
*[http://www.encuentra.com/articulos/sistemasnumericos.php Encuentra.com]
 
*[http://www.monografias/sistemasnumericos.html Monografias]
 
*[http://www.monografias/sistemasnumericos.html Monografias]
 +
* S. V. Fomín. ''Sistemas de numeración''. Editorial MIR, Moscú, 1975, impreso en la URSS, traduce del ruso, Carlos Vega.
  
 
[[Category:Análisis_numérico]]
 
[[Category:Análisis_numérico]]

última versión al 08:48 3 sep 2019

Sistemas de numeración
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SistemaN.jpeg
Conjunto de reglas y convenios que permiten la representación de todos los números, a partir de un grupo limitado de símbolos.
Campo al que perteneceMatemática y Computación


Sistema de numeración. Conjunto de reglas y convenios que permiten la representación de todos los números naturaless, en principio, a partir de una colección limitada de símbolos básicoss.

Tipos

  • Posicional: Es aquel en que el valor de la cifra cambia según la posición que ocupa la cifra dentro del número. Ejemplos de ellos son los: sistemas binario, decimal, hexadecimal, octal, etc.
  • No posicional: Es aquel en el que el valor de la cifra no depende de la posición que ocupe dentro del número. Lo que indica que existen dos tipos de valores de las cifras. Un ejemplo de ello son los números romanos.

Base

Es igual a la cantidad de dígitos diferentes que posee el sistema, a partir de los cuales se puede representar cualquier número.

Sistemas Numéricos Posicionales

En el sistema de números decimales se dice que la base o raíz es 10 debido a que usa 10 dígitos, y los coeficientes se multiplican por potencias de 10.

El sistema binario únicamente posee dos valores posibles que son 0 y 1, en los cuales cada coeficiente AJ se multiplica por 2J, como ejemplo se tiene el desarrollo del número binario 11010.11 el cual será representado por la siguiente manera :

1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2 - 1 + 1 * 2 - 2 16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 = 26.75 Por lo tanto tenemos que un número en un sistema de base(r) tiene coeficientes multiplicados por potencias de (r) y quedaría representado de la siguiente manera : an * rn + an * rn+ . . . + a2 * r2 + a1 * r1 + a0 * r0 + a - 1 * r - 1 + . . . + a - m * r - m

Sistema Binario o Sistema Diádico

En el sistema binario la base es 2 y sólo se requieren dos cifras, el 0 y el 1 por consiguiente para representar un número. Las cifras 0 y 1 tienen el mismo significado que en el sistema decimal, pero difieren en cuanto a la posición que ocupan.

En el sistema binario el dígito individual representa el coeficiente de las potencias de dos (2) en lugar de las de diez (10), como sucede en el sistema decimal. El valor de cualquier número expresado en el sistema numérico binario es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por las potencias de 2 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.

Un ejemplo ilustrativo lo constituye el número decimal 19, que se escribe en representación binaria como 10011 ya que:


10011= 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
10011= 16 + 0 + 0 + 2+ 1 =19

Sistema Decimal

Es el sistema utilizado habitualmente, base 10 y tiene diez dígitos, del 0 al 9. El valor de cualquier número expresado en este sistema es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por la potencia de 10 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.

Para escribir un número mayor que 9, se asigna un significado a la posición de cada cifra en el número completo.

Un ejemplo de ello es el número 1264:

1264= 1 x 103 + 2 x 102 + 6 x 101 + 4 x 100

La adopción, uso y difusión de esta base, tal como expresó el matemático ruso Nikolai Luzin, es debido a la estructura zoomórfica del ser humano que tiene 10 dedos en las dos manos. Primeramente, una biyección del conjunto de dedos con los objetos a contar. Ningún objeto, nada, o cero. Hasta 9 objetos, pero si había 10 objetos , chocaban las dos manos, que significaba un nuevo resultado: lo que se ha llamado una decena. Se dio un salto dialéctico, diez objetos forman una nueva unidad, de las decenas. Luego diez decenas , el segundo salto dialéctico, la centenas. En seguida 10 centenas, un millar. Habiendo organizado un resultado se tenía, por decir 4 unidades, 2 decenas, 7 centenas, 3 millares. Para simplificar o compactar, se acudía a las posiciones de las cifras: mcdu; en este ejemplo, resulta 3724. Un gran hallazgo fue la importancia de la posición y de los valores relativo y absoluto de una cifra. El origen de las cifras o guarismos o dígitos que se usan ocurre en la cultura india; pero los árabes aportan el símbolo del cero y lo llevan a Europa, n y posteriormente llega a América, por lo que cabe llamar las cifras indoarábigas a este manojo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sistema Octal

De la misma manera que el sistema decimal, el sistema octal necesita ocho cifras para poder expresar o representar cualquier número. La base de este sistema es 8. Está formado por los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7.

Sistema Hexadecimal

Este sistema necesita 16 cifras como base para expresar o representar cualquier número, los primeros diez dígitos de este sistema coinciden con los del sistema numérico decimal y los restantes seis dígitos se toman como las seis primeras letras (mayúsculas) del alfabeto: A,B,C,D,E,F, o sea: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F.

Por primera vez aparecerán combinaciones de dígitos, uno de los cuales puede ser una letra pero que para los efectos del sistema hexadecimal es considerado un número. Al igual que en los dos casos anteriores, el valor de cualquier número expresado en el sistema numérico hexadecimal es igual a la suma de los términos que resulten de multiplicar cada uno de los dígitos que constituyen el número en cuestión por la potencia de 16 que corresponda según la posición que ocupe dicho dígito dentro del número.

Conversión de números

Este método consiste en dividir reiteradas veces un número entre la base del sistema que se desea, hasta encontrar un cociente tal que no sea divisible por el divisor o la base. Después se toma éste último cociente y los restos, de derecha a izquierda, formándose así el número en el sistema solicitado.

Decimal-Binario

  • Un número binario (x) puede convertirse en decimal efectuando la suma de las potencias cuyo valor es uno.

Ejemplo : (1010.011)2 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2º + 0 * 2־¹+1*2־²+1*2 ־³ = 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0.25 + 0.125 = 10.375

  • Para los números expresados en base (r) se podría efectuar su conversión a decimal multiplicando cada coeficiente por la potencia correspondiente de r y sumando.

Ejemplo :

(630.4)8 = 6 * 82 + 3 * 81 + 0 * 80 + 4 * 8-1 = 384 + 24 + 0.5 = 408.5


  • Cuando se desea efectuar la conversión de decimal a binario o a cualquier otro sistema con base r es más conveniente si el número se separa en parte entera y en una parte fraccionaria, y la conversión de cada parte se efectúa por separado.
  • Para convertir cualquier entero decimal en cualquier sistema de base r la división se hace entre r en lugar de 2.
  • Para convertir una fracción decimal a binario, el sistema que se sigue es similar al que utilizamos para los enteros, sin embargo, se usa la multiplicación en lugar de la división, y los enteros se acumulan en lugar de los residuos.
  • Cuando se desea convertir una fracción decimal en número expresado en base r, el procedimiento es similar, la multiplicación se hace con r en lugar de 2 y los coeficientes se encuentran con los enteros.
  • Cuando se desea hacer la conversión de un número decimal de una parte entera y una parte fraccionaria la conversión se hace por separado y posteriormente se combinan las dos respuestas.

Decimal-Octal

Para ello se realiza una operación parecida a la conversión anterior. Se procede a dividir el número en cuestión por la base del sistema a convertir.

Si se toma como ejemplo el número 243, al dividirlo por 8 que es la base del sistema octal, resulta ser 30, con un primer resto de 3; al proceder a dividir 30 entre 8, resulta ser 24, por lo que el resto es 6 y el último cociente es 3. Tomando de derecha a izquierda queda 363. De modo que el 243 en el sistema decimal es 3638 en el sistema octal 243/8=30 30/8=3 (3 6 restos) 3 — ultimo cociente.

Decimal-Hexadecimal

Un ejemplo ilustrativo de esta conversión se repite con el número 243. Si se desea convertirlo en hexadecimal, se debe proceder de manera similar a las conversiones anteriores.

Se divide el número 243 por la base 16. Al hacerlo, se obtiene un cociente de 15 con un resto de 3, de modo que se toma de derecha a izquierda: último cociente(15) y el resto que es 3. En hexadecimal el 15 se representa por la letra F, completándose el resultado. El número 243 en decimal corresponde al F316 en hexadecimal.

Números octales y hexadecimales

Las conversiones entre código binario, octal y hexadecimal es muy importante en las comparaciones digitales, ya que cada dígito octal corresponde a tres dígitos binarios y a cada dígito hexadecimal corresponde cuatro dígitos binarios.

(10110001101011.111100000110)2 -> (26153.7406)8

Cuando se desea convertir un número binario a hexadecimal, el proceso es similar excepto que el número binario se divide en grupos de 4.

(10110001101011.11110010)2 -> (2C6B.F2)16

La conversión a hexadecimal en binario se realiza con un procedimiento inverso al anterior esto es; cada dígito octal se convierte en su equivalente binario de tres dígitos y cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de cuatro dígitos.

Conversión al sistema decimal

Para ello se utiliza el método de multiplicación de potencias sucesivas.

De binario a decimal

Convertir el número 111100112 a decimal. El número binario contiene ocho dígitos, por lo que se realiza una suma de cada dígito multiplicado por 2 elevado a la potencia correspondiente comenzando por 0, 1, 2 …n, hasta el último digito.

Esta operación se realiza de derecha a izquierda.

En este caso sería: 1x20 + 1x21 + 0x22 + 0x23 + 1x24 + 1x25 + 1x26 + 1x27 = 1 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 + 64 + 128 =243 De modo que el número 111100112 es igual a 243 en el sistema decimal.

De octal a decimal

Se realiza de manera similar a la anterior pero teniendo en cuenta que la base del sistema ahora es ocho (8).

322258 = 5x80 + 2x81 + 2x82 + 2x83 + 3x84 = 5 + 16 + 128 + 1024 + 12288 = 5 + 16 + 128 + 1024 + 12288 = 13461

De hexadecimal a decimal

Esta operación se realiza de derecha a izquierda. Se toma cada dígito, se multiplica por la base 8 elevada primero a 0, a uno, ect. El valor de F en el sistema decimal es 15.

Se comienza: FF16 = F x 160 + F x 161 =15 x 160 + 15 x 161 = 15 x 1 + 15 x 16 = 15 + 240 = 255

De modo que el número FF de base 16 es equivalente al 255 de base 10.

Suma binaria

Todas las operaciones se hacen a través de la suma binaria (operación fundamental).

Tabla de la suma

A B Suma Acarreo
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1

Tal como se observa en la tabla, sólo hay acarreo cuando se le da el valor de uno (1) a las dos variables.

Resta binaria

La resta consiste en una suma negada (o sea su complemento). Si se desea restar A - B, por ejemplo, los pasos a seguir serían:

  • Se tomamos el número A tal como está.
  • El número B se complementa.
  • Se realiza una suma de ambos valores.
  • Al resultado se le agrega 1.
  • El acarreo se elimina.

Fuentes

  • Encuentra.com
  • Monografias
  • S. V. Fomín. Sistemas de numeración. Editorial MIR, Moscú, 1975, impreso en la URSS, traduce del ruso, Carlos Vega.
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