Diferencia entre revisiones de «Teorema fundamental del álgebra»
(Página creada con '{{Definición|nombre=Teorema fundamental del álgebra|imagen=Matematica.jpg|concepto=Todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz.}} <div align="justify...') |
m (→Importancia: Se ha reescrito, ya que el 'archivo' no funcionaba) |
||
| (No se muestran 21 ediciones intermedias de 7 usuarios) | |||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
| − | {{Definición|nombre=Teorema fundamental del álgebra|imagen=Matematica.jpg|concepto=Todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz | + | {{Definición |
| − | + | |nombre=Teorema fundamental del álgebra | |
| − | <div align="justify"> | + | |imagen=Matematica.jpg |
| − | '''Teorema fundamental del | + | |concepto=Todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz, coeficientes numéricos, cuyo grado no sea menor que la unidad, tiene por lo menos una raíz, generalmente, compleja |
| − | + | }} | |
| − | Del presente se deriva que todo | + | <div align="justify">. |
| + | '''Teorema fundamental del álgebra.''' En [[Matemáticas]] y más especifícamente [[Álgebra |Álgebra superior]], [[Análisis Matemático]], [[Geometría]] y funciones de variable compleja, es un [[teorema]] que plantea que '''todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz'''. Del presente se deriva que todo [[polinomio]] ''p(x)'' de una variable no constante tiene la misma cantidad de raíces [[Número real|reales]] o [[Números complejos|complejas]] que su grado ''n'', resultado teórico que es vital para el [[Aritmética|cálculo numérico]]. | ||
==Definiciones== | ==Definiciones== | ||
| Línea 28: | Línea 29: | ||
* ''p(x)=(x-r<sub>1</sub>)(x-r<sub>2</sub>)p<sub>2</sub>(x)'' | * ''p(x)=(x-r<sub>1</sub>)(x-r<sub>2</sub>)p<sub>2</sub>(x)'' | ||
| − | y así descomponiendo sucesivamente los | + | y así descomponiendo sucesivamente los polinomios de menor grado resultantes ''p<sub>i</sub>(x)'' (''0<i<n''), hasta tener ''n'' raíces para ''p(x)'' quien podría expresarse a partir del producto de n binomios de primer gado (x-r<sub>i</sub>) en el conjunto <big> C </big> de los complejos, tal y como sigue: |
* ''p(x)=(x-r<sub>1</sub>)(x-r<sub>2</sub>)...(x-r<sub>n</sub>)'' | * ''p(x)=(x-r<sub>1</sub>)(x-r<sub>2</sub>)...(x-r<sub>n</sub>)'' | ||
| + | |||
| + | Aunque ya se ha mencionado las raíces ''r<sub>i</sub>'' (''0<i<n+1'') pueden ser reales o complejas y puede darse el caso de que algunas raíces sean iguales como por ejemplo las raíces de los polinomios cuádraticos de la forma [[trinomio cuadrado perfecto]] ''a<sup>2</sup>x<sup>2</sup>+2abx+b<sup>2</sup>'' ó ''a<sup>2</sup>x<sup>2</sup>-2abx+b<sup>2</sup>''. | ||
| + | |||
| + | Esta asociación directa entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces suyas es de vital importancia tanto para las matemáticas como para otras ramas en las que se modela el comportamiento de algún fenómeno con polinomios. | ||
| + | |||
| + | Otro aspecto es el hecho de la paridad de las raíces complejas que indica que: | ||
| + | |||
| + | * Si a + bi es una raíz compleja del polinomio ''p(x)'', con coeficientes racionales, entonces su conjugada a - bi, también es raíz de ''p(x)''. Esta propiedad no se cumple cuando los coeficientes son complejos a + bi, donde a≠0 y b ≠ 0. | ||
| + | |||
| + | Esto puede apreciarse en el caso en que las ecuaciones de segundo grado ''ax<sup>2</sup>+bx+c=0'', al calcularsele el discriminante ''D=b<sup>2</sup>-4ac<0'', entonces solo se satisface con los complejos: | ||
| + | |||
| + | * [[Archivo:Solucion_compleja_ecuacion_cuadratica1.gif|middle]] | ||
| + | * [[Archivo:Solucion_compleja_ecuacion_cuadratica2.gif|middle]] | ||
| + | |||
| + | que como se ve son conjugadas. | ||
==Veáse también== | ==Veáse también== | ||
| Línea 36: | Línea 52: | ||
* [[Números complejos]]. | * [[Números complejos]]. | ||
* [[Número real]]. | * [[Número real]]. | ||
| + | |||
| + | ==Referencias== | ||
| + | {{listaref}} | ||
==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
| − | + | * I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial MIR]], [[Moscú]]. [[1973]]. | |
| − | + | ||
| + | * Pontriaguin. ''Álgebra''. Editorial URSS Moscú ( demostración por caminos) | ||
| + | * Kúrosch. ''Curso superior de álgebra'', Editorial Mir, Moscú, varias ediciones en el siglo XX | ||
| − | |||
[[Categoría:Matemáticas]][[Categoría:Álgebra]] | [[Categoría:Matemáticas]][[Categoría:Álgebra]] | ||
| + | [[Categoría:Análisis matemático]] [[Categoría: Funciones de variable compleja]] | ||
última versión al 11:48 7 oct 2019
| ||||||
Teorema fundamental del álgebra. En Matemáticas y más especifícamente Álgebra superior, Análisis Matemático, Geometría y funciones de variable compleja, es un teorema que plantea que todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz. Del presente se deriva que todo polinomio p(x) de una variable no constante tiene la misma cantidad de raíces reales o complejas que su grado n, resultado teórico que es vital para el cálculo numérico.
Definiciones
Sea el polinomio de grado n (n>0) de una variable:
- p(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn.
Existe un número r tal que p(r)=0 o lo que es lo mismo, pero expresado como una factorización:
- p(x)=(x-r)(b0+b1x+...+bn-1xn-1)
Importancia
De la última definición se desprende que si p(x) puede expresarse como:
- p(x)=(x-r1)(b0+b1x+...+bn-1xn-1)
resultando un nuevo polinomio p1(x):
- p1(x)=b0+b1x+...+bn-1xn-1
de grado n-1; entonces a este nuevo polinomio puede aplicarsele el mismo teorema obteniendo una nueva raíz r2 de manera que se podría expresar p(x) de la forma:
- p(x)=(x-r1)(x-r2)p2(x)
y así descomponiendo sucesivamente los polinomios de menor grado resultantes pi(x) (0<i<n), hasta tener n raíces para p(x) quien podría expresarse a partir del producto de n binomios de primer gado (x-ri) en el conjunto C de los complejos, tal y como sigue:
- p(x)=(x-r1)(x-r2)...(x-rn)
Aunque ya se ha mencionado las raíces ri (0<i<n+1) pueden ser reales o complejas y puede darse el caso de que algunas raíces sean iguales como por ejemplo las raíces de los polinomios cuádraticos de la forma trinomio cuadrado perfecto a2x2+2abx+b2 ó a2x2-2abx+b2.
Esta asociación directa entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces suyas es de vital importancia tanto para las matemáticas como para otras ramas en las que se modela el comportamiento de algún fenómeno con polinomios.
Otro aspecto es el hecho de la paridad de las raíces complejas que indica que:
- Si a + bi es una raíz compleja del polinomio p(x), con coeficientes racionales, entonces su conjugada a - bi, también es raíz de p(x). Esta propiedad no se cumple cuando los coeficientes son complejos a + bi, donde a≠0 y b ≠ 0.
Esto puede apreciarse en el caso en que las ecuaciones de segundo grado ax2+bx+c=0, al calcularsele el discriminante D=b2-4ac<0, entonces solo se satisface con los complejos:
que como se ve son conjugadas.
Veáse también
Referencias
Fuentes
- I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
- Pontriaguin. Álgebra. Editorial URSS Moscú ( demostración por caminos)
- Kúrosch. Curso superior de álgebra, Editorial Mir, Moscú, varias ediciones en el siglo XX
