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| + | #REDIRECT [[Grupo (matemáticas)]] |
| − | {{Definición|nombre=Grupo|imagen=Matemática.jpg|concepto=Estructura algebraica de un conjunto y una operación sobre éste que es cerrada y asociativa, además de que existe un neutro en el conjunto para la operación e inversos.}}
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| − | '''Grupo algebraico'''. En [[Álgebra]] dícese de la [[estructura algebraica]] conformada por el par ''<G,*>'', tales que ''G'' es un [[conjunto]] no vacío y ''*'' es una [[operación binaria]]; entonces se cumple que ''*'' es [[Clausura|cerrada]] y [[Asociatividad|asociativa]] y que existe el elemento neutro en ''G'' y también los inversos según ''*'' de cada elemento del conjunto e cuestión.
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| − | En el caso que ''<G,*>'' sea grupo y la operación sea [[Conmutatividad|conmutativa]] se dice que es un [[grupo conmutativo]] o ''abeliano''.
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| − | El concepto de grupo se debe al célebre [[matemático]] [[Francia|francés]] [[Évariste Galois]], muerto en duelo a los 21 años.
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| − | ==Definición==
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| − | Sea un conjunto ''G'' y la operación binaria ''*'' definida como ''*(x,y)=z'' y se satisfacen los siguientes [[Axioma|axiomas]]:
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| − | # '''Clausura''': [[Archivo:Grupo_axioma_cierre.gif|middle]]. ''*'' es cerrada. | |
| − | # '''Asociatividad''': Para todo ''x'', ''y'', ''z'' de ''G'', ''(x*y)*z=x*(y*z)''.
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| − | # '''Existencia del neutro''': Existe uno y solo un elemento ''e'' de G tal que para todo ''x'' de ''G'' se cumple que ''x*e=e*x=x''. ''e'' es llamado ''neutro'' para ''*'' en ''G''.
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| − | # '''Existencia de los inversos''': Para todo ''x'' en ''G'', existe un único elemento ''x"'' también en ''G'', que satisface ''x*x"=x"*x=e''. A ''x"'' se denomina ''inverso de x según *''.
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| − | Se dice que ''G'' con la operación ''*'' es un '''grupo'''.
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| − | El incumplimiento de cualquiera de los axiomas precedentes inhabilita la condición de grupo.
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| − | ==Ejemplos.==
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| − | # Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda ''k'' entera su opuesto ''-k'' es el inverso.
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| − | # En cambio los enteros y el producto no es un grupo pues no existe del inverso para cada elemento.
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| − | # Sea ''M<sub>n</sub>'' el conjunto de las [[Matriz cuadrada|matrices cuadradas]] de orden ''n'', puede decirse que ''<M<sub>n</sub>,+>'' es un grupo.
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| − | ## Para todas las matrices cuadradas de ''n'' filas ''A'' y ''B'' ''A+B'' también es una [[matriz]] cuadrada de ''n'' filas y columnas.
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| − | ## La suma de matrices cuadradas del mismo orden ''n'' es asociativa.
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| − | ## [[Archivo:Z_sub_n.gif|middle]] es el neutro para la suma.
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| − | ## Para toda matriz cuadrada de ''n'' filas y columnas [[Archivo:Matriz_n_cuadrada.gif|middle]] se tiene su inverso dado por [[Archivo:Matriz_n_cuadrada_opuesta.gif|middle]] y según la suma de matrices [[Archivo:Cancelacion_matrices_n_cuadradas.gif|middle]].
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| − | # También es un grupo ''<M<sub>n,m</sub>,+>'', donde ''M<sub>n,m</sub>'' es el conjunto de matrices de ''n'' filas y ''m'' columnas.
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| − | # Sea un [[cuerpo algebraico|cuerpo]] ''<C,*,@>''; ''<C,*>'' y ''<C,@>'' son grupos.
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| − | # El conjunto de de todas las raíces cuartas de 1, {1, -1, i, -i} con la multiplicación en ''C'', es un grupo finito. Elemento identidad es 1; inverso de 1, -1; inverso de i, -1 y recíprocamente. Es isomorfo con el grupo aditivo de los restos de división módulo 4, {0, 1, 2, y 3} elemento identidad 0; inverso de 2, 2; inverso de 1,3 y recíprocamente.
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| − | ==Fuentes==
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| − | *Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
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| − | * Kostrikin, A.I.. ''Introducción al álgebra'', , traduce del ruso: Aníbal Sala Editorial MIR, Moscú, 1983 impreso en la URSS.
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| − | * Kurosch. ''Álgebra superior'', Editorial Mir, Moscú, impreso en la URSS.
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| − | *Birkhoff con Mac Lane. ''Älgebra Moderna'', edición en España.
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| − | [[Categoría:Campos,_anillos,_álgebras]][[Categoría:Álgebra]][[Categoría:Matemáticas]]
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