Diferencia entre revisiones de «Ecuación de segundo grado»
m |
m (Texto reemplazado: «<div align="justify">» por «») |
||
| (No se muestran 26 ediciones intermedias de otro usuario) | |||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
| − | + | ||
{{Definición | {{Definición | ||
|nombre= Ecuación de Segundo Grado | |nombre= Ecuación de Segundo Grado | ||
| − | |concepto=Toda ecuación de la forma < | + | |concepto=Toda ecuación de la forma ''ax<sup>2</sup> + bx + c = 0'' (''a ≠ 0'')}} |
| − | + | ||
| − | '''Ecuación de segundo grado'''. Toda ecuación de la forma ''ax<sup>2</sup>+bx+c=0'' (''a'' | + | '''Ecuación de segundo grado'''. Toda ecuación de la forma ''ax<sup>2</sup> + bx + c = 0'' (siendo ''a ≠ 0'')<ref>''Quadratic equations'', ''Volume 3 of Programmed Reviews of Mathematics, Programmed Reviews of Mathematics'', Roberta J. Flexer, Abraham S. Flexer, Harper & Row, ([[1967]])</ref> se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. La ecuación es '''completa''' si los tres coeficientes (''a'', ''b'' y ''c'') son distintos de cero. Si algunos de los coeficientes ''b'' y ''c'' es igual a 0, entonces la ecuación es '''incompleta''' . |
== Resolución == | == Resolución == | ||
| − | + | Existen varias técnicas o métodos para calcular las raíces (soluciones) de una ecuación de segundo grado. La técnica más empleada es la aplicación de la '''fórmula cuadrática'''. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | == Fórmula cuadrática == | |
| − | < | + | Las soluciones de una ecuación de segundo grado en la forma general ax<sup>2</sup> + bx + c = 0 vienen dadas por la '''fórmula cuadrática''': |
| − | + | [[Image:Formula 1.jpg]] | |
| − | < | + | Al radicando de fórmula, ''D = b<sup>2</sup> - 4·a·c'', se le denomina '''discriminante''' de la ecuación. El número (y tipo) de soluciones queda determinado por el signo del discriminante<ref>[https://www.matesfacil.com/resueltos-ecuaciones-segundo-grado.htm Ecuaciones de segundo grado completas (Matesfacil.com)]</ref>. |
| − | + | == Tipos de soluciones == | |
| + | Las ecuaciones de segundo grado tienen siempre dos soluciones complejas (que a su vez pueden ser reales). En el caso de la ecuación con coeficientes reales, pueden darse las siguientes tres situaciones | ||
| + | === Una solución === | ||
| + | Si el discriminante es 0, ''D = 0'', entonces las dos soluciones son reales e iguales, por lo que puede decirse que existe una única solución (de multiplicidad doble). | ||
| − | + | '''Ejemplos:''' | |
| + | * La ecuación ''x<sup>2</sup> + 2x + 1 = 0'' tiene una única solución ''x = -1''. | ||
| + | * La ecuación ''x<sup>2</sup> -2x +1 = 0'' tiene una única solución ''x = 1''. | ||
| − | + | === Dos soluciones (reales) === | |
| + | Si el discriminante es positivo, ''D > 0'', entonces existen dos soluciones reales distintas (de multiplicidad 1). | ||
| − | + | '''Ejemplos:''' | |
| + | *La ecuación incompleta ''x<sup>2</sup> - 1 = 0'' tiene dos soluciones reales: ''x=1'' y ''x = -1''. Su discriminante es ''D = 4 > 0''. | ||
| + | *La ecuación completa ''x<sup>2</sup> + x - 2 = 0'' tiene dos soluciones reales: ''x=1'' y ''x = -2''. Su discriminante es ''D = 9 > 0''. | ||
| − | + | === Dos soluciones no reales === | |
| + | Si el discriminante es negativo, ''D < 0'', entonces las dos soluciones son números complejos conjugados. Esto se debe al hecho de que la raíz cuadrada de un número negativo es un número complejo. Es común decir que la ecuación no tiene soluciones, refiriéndose a que la ecuación no tiene soluciones '''reales'''. | ||
| + | En el caso de que los coeficientes sean números complejos, existen exactamente dos raíces complejas no conjugadas (habrá que hallar raíz de un número complejo). | ||
| − | + | '''Ejemplos:<ref>[https://www.matesfacil.com/SegundoGrado/ECUACIONES-SEGUNDO-GRADO-SOLUCIONES-COMPLEJAS.html Ecuaciones de segundo grado con raíces complejas (Matesfacil.com)]</ref>''' | |
| − | == | + | * La ecuación incompleta ''x<sup>2</sup> + 1 = 0'' tiene dos soluciones complejas: ''x = i'' y ''x = -i''. Su discriminante es ''D = -4 < 0''. |
| + | * La ecuación completa ''x<sup>2</sup> - 2x + 5 = 0'' tiene dos soluciones complejas: ''x = 1 + 2i'' y ''x = 1- 2i''. Su discriminante es ''D = -16 < 0''. | ||
| − | + | == Ecuaciones incompletas == | |
| − | < | + | Las ecuaciones de segundo grado son '''incompletas''' si ''b = 0'' ó ''c = 0''. Se pueden resolver estas ecuaciones sin necesidad de la fórmula cuadrática: |
| − | + | * Si ''b = 0'', entonces la ecuación es ''ax<sup>2</sup> + c = 0''. Por tanto, ''x<sup>2</sup> = -c/a''. Tomando raíces, las soluciones son ''x = ± √(-c/a)''. | |
| + | * Si ''c = 0'', entonces la ecuación es ''ax<sup>2</sup> + bx = 0''. Factorizando, la ecuación es equivalente a la ecuación ''x(ax+b) = 0''. Al escribirla de este modo, se deduce que una solución es ''x = 0'' y la otra es ''x = -b/a''. | ||
| + | * Si ''b = c = 0'', entonces la ecuación es ''ax<sup>2</sup> = 0''. Esta ecuación tiene la única solución ''x = 0'' (de multiplicidad doble). | ||
| − | + | == Propiedades teóricas == | |
| + | Algunas propiedades teóricas<ref>[https://www.matesfacil.com/SegundoGrado/propiedades-teoricas-ecuaciones-segundo-grado.html Propiedades teóricas de las ecuaciones de segundo grado (Matesfacil.com)]</ref>''' de las ecuaciones de segundo grado son: | ||
| − | * | + | *'''Suma y producto de las soluciones:''' si ''S'' y ''P'' son la suma y el producto, respectivamente, de las soluciones de la ecuación ''ax<sup>2</sup> + bx + c = 0'', entonces ''S = -b/a'' y ''P = c/a''. |
| − | * | + | *'''Soluciones complejas:''' si el número complejo ''z'' es una solución de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, entonces su conjugado es la otra solución de dicha ecuación. |
| − | * | + | *'''Ecuación obtenida a partir de la suma y del producto de sus soluciones:''' una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son ''a'' y ''b'' es ''x<sup>2</sup> + (a+b)x + a·b = 0'' |
| − | + | *'''Factorización de una ecuación:''' si ''x<sub>1</sub>'' y ''x<sub>2</sub>'' son las soluciones de la ecuación ''ax<sup>2</sup> + bx + c = 0'', entonces la ecuación puede escribirse de forma factorizada como ''a(x - x<sub>1</sub>)(x - x<sub>2</sub>) = 0''. De hecho, ''ax<sup>2</sup> + bx + c = a(x - x<sub>1</sub>)(x - x<sub>2</sub>)''. | |
| − | + | == Referencias == | |
| − | |||
| − | |||
| − | + | {{listaref|1}} | |
| − | * | + | == Véase también == |
| − | + | *[[Ecuación]] | |
| + | *[[Parábola]] | ||
| + | *[[Ecuación Bicuadrada]] | ||
| − | [[Category: | + | [[Category:Matemáticas]][[Category:Ecuaciones]][[Category:Álgebra]] |
última versión al 18:58 6 ago 2019
| ||||
Ecuación de segundo grado. Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (siendo a ≠ 0)[1] se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. La ecuación es completa si los tres coeficientes (a, b y c) son distintos de cero. Si algunos de los coeficientes b y c es igual a 0, entonces la ecuación es incompleta .
Sumario
Resolución
Existen varias técnicas o métodos para calcular las raíces (soluciones) de una ecuación de segundo grado. La técnica más empleada es la aplicación de la fórmula cuadrática.
Fórmula cuadrática
Las soluciones de una ecuación de segundo grado en la forma general ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula cuadrática:
Al radicando de fórmula, D = b2 - 4·a·c, se le denomina discriminante de la ecuación. El número (y tipo) de soluciones queda determinado por el signo del discriminante[2].
Tipos de soluciones
Las ecuaciones de segundo grado tienen siempre dos soluciones complejas (que a su vez pueden ser reales). En el caso de la ecuación con coeficientes reales, pueden darse las siguientes tres situaciones
Una solución
Si el discriminante es 0, D = 0, entonces las dos soluciones son reales e iguales, por lo que puede decirse que existe una única solución (de multiplicidad doble).
Ejemplos:
- La ecuación x2 + 2x + 1 = 0 tiene una única solución x = -1.
- La ecuación x2 -2x +1 = 0 tiene una única solución x = 1.
Dos soluciones (reales)
Si el discriminante es positivo, D > 0, entonces existen dos soluciones reales distintas (de multiplicidad 1).
Ejemplos:
- La ecuación incompleta x2 - 1 = 0 tiene dos soluciones reales: x=1 y x = -1. Su discriminante es D = 4 > 0.
- La ecuación completa x2 + x - 2 = 0 tiene dos soluciones reales: x=1 y x = -2. Su discriminante es D = 9 > 0.
Dos soluciones no reales
Si el discriminante es negativo, D < 0, entonces las dos soluciones son números complejos conjugados. Esto se debe al hecho de que la raíz cuadrada de un número negativo es un número complejo. Es común decir que la ecuación no tiene soluciones, refiriéndose a que la ecuación no tiene soluciones reales. En el caso de que los coeficientes sean números complejos, existen exactamente dos raíces complejas no conjugadas (habrá que hallar raíz de un número complejo).
Ejemplos:[3]
- La ecuación incompleta x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: x = i y x = -i. Su discriminante es D = -4 < 0.
- La ecuación completa x2 - 2x + 5 = 0 tiene dos soluciones complejas: x = 1 + 2i y x = 1- 2i. Su discriminante es D = -16 < 0.
Ecuaciones incompletas
Las ecuaciones de segundo grado son incompletas si b = 0 ó c = 0. Se pueden resolver estas ecuaciones sin necesidad de la fórmula cuadrática:
- Si b = 0, entonces la ecuación es ax2 + c = 0. Por tanto, x2 = -c/a. Tomando raíces, las soluciones son x = ± √(-c/a).
- Si c = 0, entonces la ecuación es ax2 + bx = 0. Factorizando, la ecuación es equivalente a la ecuación x(ax+b) = 0. Al escribirla de este modo, se deduce que una solución es x = 0 y la otra es x = -b/a.
- Si b = c = 0, entonces la ecuación es ax2 = 0. Esta ecuación tiene la única solución x = 0 (de multiplicidad doble).
Propiedades teóricas
Algunas propiedades teóricas[4] de las ecuaciones de segundo grado son:
- Suma y producto de las soluciones: si S y P son la suma y el producto, respectivamente, de las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces S = -b/a y P = c/a.
- Soluciones complejas: si el número complejo z es una solución de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, entonces su conjugado es la otra solución de dicha ecuación.
- Ecuación obtenida a partir de la suma y del producto de sus soluciones: una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a y b es x2 + (a+b)x + a·b = 0
- Factorización de una ecuación: si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces la ecuación puede escribirse de forma factorizada como a(x - x1)(x - x2) = 0. De hecho, ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).
Referencias
- ↑ Quadratic equations, Volume 3 of Programmed Reviews of Mathematics, Programmed Reviews of Mathematics, Roberta J. Flexer, Abraham S. Flexer, Harper & Row, (1967)
- ↑ Ecuaciones de segundo grado completas (Matesfacil.com)
- ↑ Ecuaciones de segundo grado con raíces complejas (Matesfacil.com)
- ↑ Propiedades teóricas de las ecuaciones de segundo grado (Matesfacil.com)
