Diferencia entre revisiones de «Grupo (matemáticas)»
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| − | En [[matemáticas]], un '''grupo''' es una estructura [[Álgebra| algebraica]] formada por un conjunto ''A'' no vacío y una [[Composición binaria|ley de composición]] interna *. La estructura se denota por ''(A,*)''. Para que el par ''(A,*)'' sea un '''grupo''' debe ser un [[Monoide|monoide o semigrupo]] y, además, para cada elemento de ''A'' debe existir un elemento simétrico. | + | En [[matemáticas]], particularmente en álgebra moderna, un '''grupo''' es una estructura [[Álgebra| algebraica]] formada por un conjunto ''A'' no vacío y una [[Composición binaria|ley de composición]] interna *. La estructura se denota por ''(A,*)''. Para que el par ''(A,*)'' sea un '''grupo''' debe ser un [[Monoide|monoide o semigrupo]] y, además, para cada elemento de ''A'' debe existir un elemento simétrico. |
| − | Es decir, ''(A,*)'' debe cumplir | + | Es decir, ''(A,*)'' debe cumplir las siguientes condiciones (las tres primeros son propias de monoide)<ref>José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño Sierra; ''Introducción al álgebra'', Lightning Source, ([[2006]])</ref><ref>Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley; ''Introducción moderna a la matemática superior'', Ediciones del Castillo, Madrid. ([[1967]]).</ref>: |
| − | *'''La ley u operación ''*'' es interna''', esto es, para cada par de elementos ''x'' e ''y'' de ''A'', la composición ''x*y'' debe ser un elemento de ''A''. | + | *'''La ley u operación ''*'' es interna''', esto es, para cada par de elementos ''x'' e ''y'' de ''A'', la composición ''x*y'' debe ser un elemento de ''A''. Se conoce también como ''propiedad clausurativa'' |
*'''Asociatividad para la ley ''*''''', esto es, para cualquier terna ''x'', ''y'' y ''z'' debe cumplirse que ''x*(y*z) = (x*y)*z''. | *'''Asociatividad para la ley ''*''''', esto es, para cualquier terna ''x'', ''y'' y ''z'' debe cumplirse que ''x*(y*z) = (x*y)*z''. | ||
| − | *'''Existe un elemento ''e'' | + | *'''Existe un elemento neutro ''e'' para ''*''''',; esto es, para cualquier ''x'' de ''A'', se cumple ''x*e = x'' y ''e*x = x''. Este elemento neutro es único. |
| − | * '''Todo elemento de''' '''''A''''' '''tiene simétrico''' | + | * '''Todo elemento ''x'' de''' '''''A''''' '''tiene simétrico''' ''y''; esto es, para todo elemento ''x'' de ''A'' existe un elemento ''y'' tal que ''x*y = e = y*x''. El elemento simétrico de x es único. |
=== Ejemplos === | === Ejemplos === | ||
| − | * El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la | + | * El conjunto de los números reales tiene estructura de grupo con la operación de la adición , ''(R,+)''. El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de ''x'' es ''-x'' ya que ''x +(- x) = 0'' (notación aditiva). |
| − | * El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, ''(R,·)''. El | + | * El conjunto R* = R\ {0} siendo R el conjunto de los los números reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, ''(R*, ·)''. El elemento neutro del grupo es 1 y el simétrico de ''x'' es ''1/x'' ya que ''x·(1/x) = 1'' (notación multiplicativa). |
* El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos. | * El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos. | ||
* El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión ''n'' tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros. | * El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión ''n'' tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros. | ||
| + | ===Observación=== | ||
| + | En verdad, en un grupo aparecen dos operaciones: | ||
| + | # Una operación binaria de GxG en G; vincula dos elementos cualesquiera a y b con un tercer elemento c. | ||
| + | # una operación unaria de G en G, relaciona cada elemento con su inverso ( opuesto, simétrico)<ref>Pontriaguin. ''Grupos continuos'' Editorial Mir Moscú</ref> | ||
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| + | ==Historia== | ||
| + | El creador de la teoría de grupos fue el joven matemático francés, Evaristo Galois, al estudiar la solución de ecuaciones algebraicas utilizando las operaciones básicas y radicales. | ||
| + | ==Isomorfismo== | ||
| + | La teoría de grupos estudia los grupos, exclusivamente, desde el punto de vista de la operación definida en ello. Tal como se resalta con la siguiente | ||
| + | ===Definición=== | ||
| + | Una aplicación f de un grupo G sobre un grupo G' se llama ''aplicación isomorfa'' o ''isomorfismo'' si es biyectiva y preserva la operación de "multiplicación", esto es f(xy) = f(x)f(y) para dos elementos cualesquiera de G. Ciertamente, si la aplicación f es isomorfa, lo es también la inversa de f. Se dice que dos grupos son '''isomorfos'' 'si existe una aplicación isomorfa de un grupo sobre el otro. | ||
| + | ===Casos=== | ||
| + | ====Grupo de automorfismos==== | ||
| + | Puede plantearse las aplicaciones isomorfas de un grupo sobre él mismo. Estas se llaman ''automorfismos'' del grupo G. Cualquier automorfismo del grupo G es una transformación del conjunto G por ser biyectivo. Por lo tanto dos automorfismos pueden multiplicarse y la transformación del grupo G, obtenido como producto, también es un automorfismo de este grupo. Existe la transformación idéntica y es un automorfismo; y también es un automorfismo, la transformación inversa de un automorfismo. De tal manera el conjunto Aut (G) de todos los automorfismos de un grupo G es un grupo. <ref>L. S. Pontriaguin ''Grupos continuos'' Editorial Mir Moscú (1978) </ref> | ||
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*[[Grupo conmutativo|Grupo abeliano]] | *[[Grupo conmutativo|Grupo abeliano]] | ||
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última versión al 09:57 28 oct 2019
En matemáticas, particularmente en álgebra moderna, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir las siguientes condiciones (las tres primeros son propias de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A. Se conoce también como propiedad clausurativa
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento neutro e para *,; esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x. Este elemento neutro es único.
- Todo elemento x de A tiene simétrico y; esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x. El elemento simétrico de x es único.
Sumario
Ejemplos
- El conjunto de los números reales tiene estructura de grupo con la operación de la adición , (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x +(- x) = 0 (notación aditiva).
- El conjunto R* = R\ {0} siendo R el conjunto de los los números reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R*, ·). El elemento neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
Observación
En verdad, en un grupo aparecen dos operaciones:
- Una operación binaria de GxG en G; vincula dos elementos cualesquiera a y b con un tercer elemento c.
- una operación unaria de G en G, relaciona cada elemento con su inverso ( opuesto, simétrico)[3]
Historia
El creador de la teoría de grupos fue el joven matemático francés, Evaristo Galois, al estudiar la solución de ecuaciones algebraicas utilizando las operaciones básicas y radicales.
Isomorfismo
La teoría de grupos estudia los grupos, exclusivamente, desde el punto de vista de la operación definida en ello. Tal como se resalta con la siguiente
Definición
Una aplicación f de un grupo G sobre un grupo G' se llama aplicación isomorfa o isomorfismo si es biyectiva y preserva la operación de "multiplicación", esto es f(xy) = f(x)f(y) para dos elementos cualesquiera de G. Ciertamente, si la aplicación f es isomorfa, lo es también la inversa de f. Se dice que dos grupos son 'isomorfos 'si existe una aplicación isomorfa de un grupo sobre el otro.
Casos
Grupo de automorfismos
Puede plantearse las aplicaciones isomorfas de un grupo sobre él mismo. Estas se llaman automorfismos del grupo G. Cualquier automorfismo del grupo G es una transformación del conjunto G por ser biyectivo. Por lo tanto dos automorfismos pueden multiplicarse y la transformación del grupo G, obtenido como producto, también es un automorfismo de este grupo. Existe la transformación idéntica y es un automorfismo; y también es un automorfismo, la transformación inversa de un automorfismo. De tal manera el conjunto Aut (G) de todos los automorfismos de un grupo G es un grupo. [4]
Referencias
- ↑ José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño Sierra; Introducción al álgebra, Lightning Source, (2006)
- ↑ Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley; Introducción moderna a la matemática superior, Ediciones del Castillo, Madrid. (1967).
- ↑ Pontriaguin. Grupos continuos Editorial Mir Moscú
- ↑ L. S. Pontriaguin Grupos continuos Editorial Mir Moscú (1978)
