Progresión armónica

Progresión armónica es la que se establece considerando una relación entre tres términos de ella; por lo que difiere de una progresión aritmética en que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante y en una progresión geométrica, el cociente entre dos términos consecutivos permanece igual. Siendo los casos más conocidos:

Progresión aritmética: 1, 2, 3,... de razón 1, no es sino la sucesión de los enteros naturales que empieza en 1.

Progresión geométrica 1, 2, 4, 8 de razón 2 la famosa progresión de razón 2, que considera la solicitud del inventor del ajedrez, en que se empieza con un grano de trigo y se duplica en el siguiente escaque del tablero de ajedrez.

Progresión armónica:1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., cuya suma cando n crece sin tasa no tiene límite: serie divergente.

Definición

Dados tres números a, b, c se dice que están en razón armónica si b es media armónica de a y de c.

De otra manera. a:c = (a-b):(b-c)

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos están en una razón armónica.

Como muestra

1/2, 1/5, 1/8, 1/11, 1/14, 1/17,...

1, 2/3, 1/2, 2/5, 1/3, 7/2,1/8,...

Proposición 1

Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica. , Demostración

Se tiene m:n = (m-n): (n-n)

de donde m(n-p)= p(m-n)

dividiendo cada término por mnp

1:p- 1:n = 1:n- 1:m lo que demuestra la proposición.

Medio armónico

Sean m y n dos números y H su medio armónico, por lo demostrado

1:H - 1:m = 1:n -1: H

O sea

2: h = 1:m + 1:n

Finalmente

H = 2mn:(m+n)

Proposición 2

Sean x, h y t son tres términos consecutivos de una progresión armónica, entonces h es la media armónica de x y de t.

O sea h = 1:([1:x +1:t]:2)

Bibliografía

• Leithold. Cálculo con geometría analítica
• Hall & Knight: Álgebra superior