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'''Ley de los cosenos'''. Si se proporcionaran los tres lados (LLL) o dos lados y su angulo comprendido (LAL), ninguna de las razones en la ley de los senos estaría completa en la resolución de triángulos <ref> Larson. Trigonometría Cengage learning, ciudad de méxico 2011 </REF>. En tales situaciones, acude necesaria la ley de los cosenos. Cuya fómmula va a ser obtenida usando el Teorema de la proyección y operaciones algebraicas entre las ecuaciones trigonométricas, | '''Ley de los cosenos'''. Si se proporcionaran los tres lados (LLL) o dos lados y su angulo comprendido (LAL), ninguna de las razones en la ley de los senos estaría completa en la resolución de triángulos <ref> Larson. Trigonometría Cengage learning, ciudad de méxico 2011 </REF>. En tales situaciones, acude necesaria la ley de los cosenos. Cuya fómmula va a ser obtenida usando el Teorema de la proyección y operaciones algebraicas entre las ecuaciones trigonométricas, | ||
| − | Sea ΔABC, un triángulo oblicuángulo, de lados a,b y c; la '''Ley de los cosenos''' vincula el cuadrado de un lado de un triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados , menos el producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido por ellos <ref> Trigonometría de la Editorial Lumbreras, Lima 2017 </ref>. | + | Sea ΔABC, un triángulo oblicuángulo, de lados a,b y c; la '''Ley de los cosenos''' vincula el cuadrado de un lado de un triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados , menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido por ellos <ref> Trigonometría de la Editorial Lumbreras, Lima 2017 </ref>. |
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# b<sup>2</sup> = bccos A + ab cos C (II), sumando (I) y (II) | # b<sup>2</sup> = bccos A + ab cos C (II), sumando (I) y (II) | ||
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# a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> + 2ab cos C | # a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> + 2ab cos C | ||
# c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> - 2ab cos C | # c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> - 2ab cos C | ||
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==Aplicaciones== | ==Aplicaciones== | ||
* Se utiliza en la resolución de triángulos; en los casos de los triángulos oblicuángulos, casos LLL o LAL. | * Se utiliza en la resolución de triángulos; en los casos de los triángulos oblicuángulos, casos LLL o LAL. | ||
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* Como en su formulación, se usa la función coseno y la proposición de la proyección, es independiente del teorema de Pitágoras; por este hecho puede servir para una demostración del aludido teorema, usando el hecho de que el ángulo C se acerque a 90º, y el ΔABC se transforma en triángulo rectángulo. | * Como en su formulación, se usa la función coseno y la proposición de la proyección, es independiente del teorema de Pitágoras; por este hecho puede servir para una demostración del aludido teorema, usando el hecho de que el ángulo C se acerque a 90º, y el ΔABC se transforma en triángulo rectángulo. | ||
* En el deporte, la Ley de los cosenos se puede emplear para aproximar qué tan lejos puede correr un jugador de beisbol para realizar una atrapada <ref> Larson Op. cit </ref>. | * En el deporte, la Ley de los cosenos se puede emplear para aproximar qué tan lejos puede correr un jugador de beisbol para realizar una atrapada <ref> Larson Op. cit </ref>. | ||
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última versión al 15:37 29 ago 2024
Ley de los cosenos. Si se proporcionaran los tres lados (LLL) o dos lados y su angulo comprendido (LAL), ninguna de las razones en la ley de los senos estaría completa en la resolución de triángulos [1]. En tales situaciones, acude necesaria la ley de los cosenos. Cuya fómmula va a ser obtenida usando el Teorema de la proyección y operaciones algebraicas entre las ecuaciones trigonométricas,
Sea ΔABC, un triángulo oblicuángulo, de lados a,b y c; la Ley de los cosenos vincula el cuadrado de un lado de un triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados , menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido por ellos [2].
Fórmula
- c2 = a2 + b2 -2ab cos C
Demostración
- Por la proposición de la proyección, se tiene
- c= a cos B + b cos A, multiplicando por c sale
- c2 = accos B + bc cos A, consideración similar para los lados a y b
- a2 = accos B + ab cos C (I)
- b2 = bccos A + ab cos C (II), sumando (I) y (II)
- a2 + b2 = accos B + ab cos C + bccos A + ab cos C = (accos B +bccos A ) + ( ab cos C +ab cos C ), el primer paréntesis c2
- a2 + b2 = c2 + 2ab cos C
- c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Aplicaciones
- Se utiliza en la resolución de triángulos; en los casos de los triángulos oblicuángulos, casos LLL o LAL.
- Modelar y emplear la ley de los cosenos en la práctica social del trabajo tecnológico o científico.
- Como en su formulación, se usa la función coseno y la proposición de la proyección, es independiente del teorema de Pitágoras; por este hecho puede servir para una demostración del aludido teorema, usando el hecho de que el ángulo C se acerque a 90º, y el ΔABC se transforma en triángulo rectángulo.
- En el deporte, la Ley de los cosenos se puede emplear para aproximar qué tan lejos puede correr un jugador de beisbol para realizar una atrapada [3].
Referencias
Fuentes
- Trigonometría plana y esférica de Granvile/ Smith / Mikesh
- Trigonometría de Larson
- Trigonometría de Editorial Lumbreras, Lima
