Diferencia entre revisiones de «Teorema de Euler - Fermat»
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| − | De otro modo si (a,m) = 1 , entonces a<sup>t</sup>, donde t es la función fi de Euler para m, es congruente con 1 respecto a módulo m. | + | ==Enunciado del teorema de Euler-Fermat== |
| + | “ Si m es un número natural entonces para todo entero a, primo relativo con m, el número a<sup>φ(m)</sup> - 1 es múltiplo de m". De otro modo si (a,m) = 1 , entonces a<sup>t</sup>, donde t es la función fi de Euler para m, es congruente con 1 respecto a módulo m. | ||
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Honra la memoria de dos teóricos de números, pues ya fue atisbada por Fermat, pero el que lo formalizó debidamente fue Euler. | Honra la memoria de dos teóricos de números, pues ya fue atisbada por Fermat, pero el que lo formalizó debidamente fue Euler. | ||
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Si (a,m) = 1 y k el menor exponente positivo para el cual a<sup>k</sup> ~ 1(mod m) y si a<sup>l</sup> ~ 1 (mod m) entonces l es múltiplo de k. <ref> Jones: Introducción a la teoría de los números</ref> | Si (a,m) = 1 y k el menor exponente positivo para el cual a<sup>k</sup> ~ 1(mod m) y si a<sup>l</sup> ~ 1 (mod m) entonces l es múltiplo de k. <ref> Jones: Introducción a la teoría de los números</ref> | ||
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| + | Cuando k es el exponente mínimo positivo para el cual a<sup>k</sup> ~ 1 (mod m), entonces r es factor de f(m) , siendo esta la función fi de Euler. | ||
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*Enzo R. Gentile: Aritmética elemental | *Enzo R. Gentile: Aritmética elemental | ||
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última versión al 11:28 9 dic 2019
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Teorema de Euler- Fermat. Es una proposición de la teoría de números, no es sino la generalización del “Pequeño teorema de Fermat”, realizada por Leonhard Euler. Es una función aritmética definida para n natural mediante la llamada función phi[1] de Euler.
Siendo f(n) = cantidad de números enteros s tales que 1 ≤ s ≤ n y el mcd de s y n es 1 o primos relativos. Presentamos casos ilustrativos:
- f(1 ) = 1; f(2) = 1; F(3) = 2; f(4) = 2; f(5) = 4; f(6) = 2
- f(7 ) = 6; f(8) = 4; f(9) = 4; f(10) = 4; f(11) = 10; f(12) = 4
Puede observarse que si p es primo su función fi de p es p-1.
Sumario
Enunciado del teorema de Euler-Fermat
“ Si m es un número natural entonces para todo entero a, primo relativo con m, el número aφ(m) - 1 es múltiplo de m". De otro modo si (a,m) = 1 , entonces at, donde t es la función fi de Euler para m, es congruente con 1 respecto a módulo m.
Nota histórica
Honra la memoria de dos teóricos de números, pues ya fue atisbada por Fermat, pero el que lo formalizó debidamente fue Euler.
Proposición
Si (a,m) = 1 y k el menor exponente positivo para el cual ak ~ 1(mod m) y si al ~ 1 (mod m) entonces l es múltiplo de k. [2]
Corolario
Cuando k es el exponente mínimo positivo para el cual ak ~ 1 (mod m), entonces r es factor de f(m) , siendo esta la función fi de Euler.
Referencias
Fuentes
- Enzo R. Gentile: Aritmética elemental
- https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler
