Derivadas Implícitas

 

Derivadas Implícitas Para derivar funciones implícitas.

Derivadas Implícitas.Una función y =f(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Funciones explícitas

La mayor parte de las funciones están expresadas en forma explícita, como en la ecuación:

donde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación, que en algunos casos involucra dos o más funciones explicitas. La función y = 1/x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Para hallar la derivada en esta última ecuación, se despeja y, así,
y = 1/ x, la que se puede expresar como y= X^-1

El método sirve siempre y cuando se pueda de despejar y en la ecuación.
El problema es cuando no se logra despejar y, es inútil este método.

Por ejemplo, para hallar para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x, por lo que se hace necesario utilizar las derivadas de funciones Implícitas.

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y está dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando se tiene que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena

Ejemplo 1:

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar de la función implícita siguiente.

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida

con derivadas parciales

El trabajo anterior se puede omitir utilizando la fórmula para determinar la derivada en funciones implícitas.

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente la fórmula para derivar funciones implícitas:

Dada una función F(x,y), implícita, si se quiere calcular la derivada de y respecto de x: = f'(x)

Ejemplo 4:

Hallar , de la función implícita:

Bibliografía

• Cálculo. Roland Larson y otros.

• Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros

• Cálculo diferencial e integral de Piskunov, Editorial Mir, Moscú, URSS

Véase también

• Matemáticas