Método de inducción completa

Inducción Matemática 260px Campo al que pertenece Álgebra

Demostración por inducción. Es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros.

Definición

La inducción completa es el razonamiento en que la conclusión general se obtiene a partir del estudio de todos los casos del fenómeno observado y tiene su validez garantizada. Un caso particular de ella es la inducción matemática. Este principio sirve para demostrar propiedades que se cumplen para un conjunto numerable de objetos (Un conjunto A es numerable si existe una biyección de A en el conjunto de los números naturales). Generalmente se usa la notación A(n), B(n), C(n), P (n), … para denotar estas propiedades.

Principio

El principio de inducción completa, en que se basa el método del mismo nombre, consiste en:

• 1ro. Probar que la propiedad se satisface para un primer número natural (P (a) es verdadera para a perteneciente a N).
• 2do. Probar que siempre que un número natural cualquiera satisfaga la propiedad, su sucesor también la satisface.(De P (k) se deduce P (k+1)).

Ejemplo

Demuestra por Inducción completa que para todos los números naturales n se cumple: 0 + 2 + 4 +…+ 2n = n(n + 1) Sea S(n) = 0 + 2 + 4 +…+ 2n. Se debe probar que S(n) = n(n + 1).

Inicio de Inducción: Para n = 0: S (0) = 0(0 + 1) = 0 La propiedad es verdadera para n = 0.

Hipótesis de inducción: Para n = k : 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1)

Tesis de inducción: Para n = k +1: 0 + 2 + 4 +…+ 2(k+1) = (k + 1)(k + 2)

Demostración de la tesis de inducción Se debe probar que S (k)= k(k + 1) => S (k+1)= (k + 1)(k + 2) Partiendo de la hipótesis: 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1) Sumemos el término 2(k +1) a ambos miembros de la igualdad: 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) Debemos analizar si en el miembro derecho la expresión k(k + 1) + 2(k + 1)es la misma que (k + 1)(k + 2) 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 0 + 2 + 4 +… +2k+ 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) extrayendo factor común (k+1) Luego, la propiedad se cumple para todo n que pertenece a N.

Demostración de proposiciones de la Teoría de números

Demuestra por inducción completa que para todo numero natural n 3ⁿ – 1 es divisible por 2.

Inicio de inducción:

Para n = 0  ; 30 – 1 = 1 – 1 = 0  no se cumple la propiedad.
Para n = 1, 31 – 1 = 2  es divisible por 2.  Se cumple la propiedad.

Elaborar de conjunto con los alumnos que si un número es divisible por 2, entonces es de la forma 2x, con x que pertenece a N.)

Hipótesis de inducción: Para n = k : 3^k – 1 = 2x

Tesis de inducción: Para n = k + 1: 3^{k + 1} – 1 = 2

Demostración de la tesis de inducción:

3k – 1 = 2x  
Multiplicando por 3 ambos miembros, tenemos

3·3k-3 = 6x 
3k+1 = 3 + 6x    
3k+1 = 2 + 1 + 6x 
3k + 1 – 1 = 2 + 6x
3k + 1 – 1 =  2 (1 + 3x)        
3k + 1 – 1 =  2 y luego 3n – 1 

es divisible por 2 para todo n que pertenece a los números naturales distintos de cero.

Enlace externo

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Fuente

• Colectivo de autores. Matemática 12 grado parte I. Ministerio de Educación 1991