Diferencia entre revisiones de «Grupo algebraico»
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| − | + | # Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda ''k'' entera su opuesto ''-k'' es el inverso. | |
| − | + | # En cambio los enteros y el producto no es un grupo pues no existe del inverso para cada elemento. | |
| − | + | # Sea ''M<sub>n</sub>'' el conjunto de las [[Matriz cuadrada|matrices cuadradas]] de orden ''n'', puede decirse que ''<M<sub>n</sub>,+>'' es un grupo. | |
| − | + | ## Para todas las matrices cuadradas de ''n'' filas ''A'' y ''B'' ''A+B'' también es una [[matriz]] cuadrada de ''n'' filas y columnas. | |
| − | + | ## La suma de matrices cuadradas del mismo orden ''n'' es asociativa. | |
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| − | + | ## Para toda matriz cuadrada de ''n'' filas y columnas [[Archivo:Matriz_n_cuadrada.gif|middle]] se tiene su inverso dado por [[Archivo:Matriz_n_cuadrada_opuesta.gif|middle]] y según la suma de matrices [[Archivo:Cancelacion_matrices_n_cuadradas.gif|middle]]. | |
| − | + | # También es un grupo ''<M<sub>n,m</sub>,+>'', donde ''M<sub>n,m</sub>'' es el conjunto de matrices de ''n'' filas y ''m'' columnas. | |
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Revisión del 19:22 23 ene 2012
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Grupo algebraico. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una operación binaria; entonces se cumple que * es cerrada y asociativa y que existe el elemento neutro en G y también los inversos según * de cada elemento del conjunto e cuestión.
En el caso que <G,*> sea grupo y la operación sea conmutativa se dice que es un grupo conmutativo o abeliano, por el célebre matemático francés Abel Galois.
Definición.
Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z y se satisfacen los siguientes axiomas:
- Clausura:
. * es cerrada. - Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).
- Existencia del neutro: Existe uno y solo un elemento e de G tal que para todo x de G se cumple que x*e=e*x=x. e es llamado neutro para * en G.
- Existencia de los inversos: Para todo x en G, existe un único elemento x" también en G, que satisface x*x"=x"*x=e. A x" se denomina inverso de x según *.
Se dice que G con la operación * es un grupo.
El incumplimiento de cualquiera de los axiomas precedentes inhabilita la condición de grupo.
Ejemplos.
- Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda k entera su opuesto -k es el inverso.
- En cambio los enteros y el producto no es un grupo pues no existe del inverso para cada elemento.
- Sea Mn el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que <Mn,+> es un grupo.
- Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
- La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
es el neutro para la suma.- Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas
se tiene su inverso dado por 
y según la suma de matrices 
.
- También es un grupo <Mn,m,+>, donde Mn,m es el conjunto de matrices de n filas y m columnas.
- Sea un cuerpo <C,*,@>; <C,*> y <C,@> son grupos.
Fuentes.
- Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
