Diferencia entre revisiones de «Grupo (matemáticas)»
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*'''La ley u operación ''*'' es interna''', esto es, para cada par de elementos ''x'' e ''y'' de ''A'', la composición ''x*y'' debe ser un elemento de ''A''. Se conoce también como ''propiedad clausurativa'' | *'''La ley u operación ''*'' es interna''', esto es, para cada par de elementos ''x'' e ''y'' de ''A'', la composición ''x*y'' debe ser un elemento de ''A''. Se conoce también como ''propiedad clausurativa'' | ||
*'''Asociatividad para la ley ''*''''', esto es, para cualquier terna ''x'', ''y'' y ''z'' debe cumplirse que ''x*(y*z) = (x*y)*z''. | *'''Asociatividad para la ley ''*''''', esto es, para cualquier terna ''x'', ''y'' y ''z'' debe cumplirse que ''x*(y*z) = (x*y)*z''. | ||
| − | *'''Existe un elemento ''e'' | + | *'''Existe un elemento neutro ''e'' para ''*''''',; esto es, para cualquier ''x'' de ''A'', se cumple ''x*e = x'' y ''e*x = x''. Este elemento neutro es único. |
| − | * '''Todo elemento de''' '''''A''''' '''tiene simétrico''' | + | * '''Todo elemento ''x'' de''' '''''A''''' '''tiene simétrico''' ''y''; esto es, para todo elemento ''x'' de ''A'' existe un elemento ''y'' tal que ''x*y = e = y*x''. El elemento simétrico de x es único. |
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Revisión del 14:44 1 abr 2017
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A. Se conoce también como propiedad clausurativa
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento neutro e para *,; esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x. Este elemento neutro es único.
- Todo elemento x de A tiene simétrico y; esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x. El elemento simétrico de x es único.
Ejemplos
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la suma de reales, (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x - x = 0 (notación aditiva).
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R,·). El elementro neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
