Diferencia entre revisiones de «Grupo (matemáticas)»
(→Ejemplos) |
(→Ejemplos: Tener en cuente que 0 no tiene inverso multiplicativo.) |
||
| Línea 9: | Línea 9: | ||
=== Ejemplos === | === Ejemplos === | ||
* El conjunto de los números reales tiene estructura de grupo con la operación de la adición , ''(R,+)''. El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de ''x'' es ''-x'' ya que ''x +(- x) = 0'' (notación aditiva). | * El conjunto de los números reales tiene estructura de grupo con la operación de la adición , ''(R,+)''. El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de ''x'' es ''-x'' ya que ''x +(- x) = 0'' (notación aditiva). | ||
| − | * El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, ''(R,·)''. El | + | * El conjunto R* = R\ {0} siendo R el conjunto de los los números reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, ''(R*, ·)''. El elemento neutro del grupo es 1 y el simétrico de ''x'' es ''1/x'' ya que ''x·(1/x) = 1'' (notación multiplicativa). |
* El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos. | * El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos. | ||
* El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión ''n'' tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros. | * El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión ''n'' tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros. | ||
Revisión del 14:52 1 abr 2017
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A. Se conoce también como propiedad clausurativa
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento neutro e para *,; esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x. Este elemento neutro es único.
- Todo elemento x de A tiene simétrico y; esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x. El elemento simétrico de x es único.
Ejemplos
- El conjunto de los números reales tiene estructura de grupo con la operación de la adición , (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x +(- x) = 0 (notación aditiva).
- El conjunto R* = R\ {0} siendo R el conjunto de los los números reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R*, ·). El elemento neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
