Diferencia entre revisiones de «Grupo (matemáticas)»
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==Historia== | ==Historia== | ||
El creador de la teoría de grupos fue el joven matemático francés, Evaristo Galois, al estudiar la solución de ecuaciones algebraicas utilizando las operaciones básicas y radicales. | El creador de la teoría de grupos fue el joven matemático francés, Evaristo Galois, al estudiar la solución de ecuaciones algebraicas utilizando las operaciones básicas y radicales. | ||
| + | ==Isomorfismo== | ||
| + | La teoría de grupos estudia los grupos, exclusivamente, desde el punto de vista de la operación definida en ello. Tal como se resalta con la siguiente | ||
| + | ===Definición=== | ||
| + | Una aplicación f de un grupo G sobre un grupo G' se llama ''aplicación isomorfa'' o ''isomorfismo'' si es biyectiva y preserva la operación de "multiplicación", esto es f(xy) = f(x)f(y) para dos elementos cualesquiera de G. Ciertamente, si la aplicación f es isomorfa, lo es también la inversa de f. Se dice que dos grupos son '''isomorfos'' 'si existe una aplicación isomorfa de un grupo sobre el otro. | ||
== Referencias == | == Referencias == | ||
Revisión del 23:45 12 oct 2017
En matemáticas, particularmente en álgebra moderna, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A. Se conoce también como propiedad clausurativa
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento neutro e para *,; esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x. Este elemento neutro es único.
- Todo elemento x de A tiene simétrico y; esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x. El elemento simétrico de x es único.
Ejemplos
- El conjunto de los números reales tiene estructura de grupo con la operación de la adición , (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x +(- x) = 0 (notación aditiva).
- El conjunto R* = R\ {0} siendo R el conjunto de los los números reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R*, ·). El elemento neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
Historia
El creador de la teoría de grupos fue el joven matemático francés, Evaristo Galois, al estudiar la solución de ecuaciones algebraicas utilizando las operaciones básicas y radicales.
Isomorfismo
La teoría de grupos estudia los grupos, exclusivamente, desde el punto de vista de la operación definida en ello. Tal como se resalta con la siguiente
Definición
Una aplicación f de un grupo G sobre un grupo G' se llama aplicación isomorfa o isomorfismo si es biyectiva y preserva la operación de "multiplicación", esto es f(xy) = f(x)f(y) para dos elementos cualesquiera de G. Ciertamente, si la aplicación f es isomorfa, lo es también la inversa de f. Se dice que dos grupos son 'isomorfos 'si existe una aplicación isomorfa de un grupo sobre el otro.
