Ley de los cosenos

Ley de los cosenos. Si se proporcionaran los tres lados (LLL) o dos lados y su angulo comprendido (LAL), ninguna de las razones en la ley de los senos estaría completa en la resolución de triángulos . En tales situaciones, acude necesaria la ley de los cosenos. Cuya fómmula va a ser obtenida usando el Teorema de la proyección y operaciones algebraicas entre las ecuaciones trigonométricas,

Sea ΔABC, un triángulo oblicuángulo, de lados a,b y c; la Ley de los cosenos vincula el cuadrado de un lado de un triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados , menos el producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido por ellos .

Fórmula

c² = a² + b² -ab cos C

Demostración

Por la proposición de la proyección, se tiene

1. c= a cos B + b cos A, multiplicando por c sale
2. c² = accos B + bc cos A, consideración similar para los lados a y b
3. a² = accos B + ab cos C (I)
4. b² = bccos A + ab cos C (II), sumando (I) y (II)
5. a² + b² = accos B + ab cos C + bccos A + ab cos C = (accos B +bccos A ) + ( ab cos C +ab cos C ), el primer paréntesis c²
6. a² + b² = c² + 2ab cos C
7. c² = a² + b² - 2ab cos C

Aplicaciones

• Se utiliza en la resolución de triángulos; en los casos de los triángulos oblicuángulos, casos LLL o LAL.
• Modelar y emplear la ley de los cosenos en la práctica social del trabajo tecnológico o científico.
• Como en su formulación, se usa la función coseno y la proposición de la proyección, es independiente del teorema de Pitágoras; por este hecho puede servir para una demostración del aludido teorema, usando el hecho de que el ángulo C se acerque a 90º, y el ΔABC se transforma en triángulo rectángulo.
• En el deporte, la Ley de los cosenos se puede emplear para aproximar qué tan lejos puede correr un jugador de beisbol para realizar una atrapada .

Fuentes

• Trigonometría plana y esférica de Granvile/ Smith / Mikesh
• Trigonometría de Larson
• Trigonometría de Editorial Lumbreras, Lima