Diferencia entre revisiones de «Axiomática de Kolmogórov»
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para esto consideramos un espacio de sucesos elementales W, y una cierta sigm-álgebra de sucesos A<sub>s</sub>. Con las letras '''A''', '''B''', '''C''' ( con subíncices o sin ellos) en los sigue denotamos a los sucesos, esto es a los elementos del sigm-álgebra de sucesos A<sub>s</sub>. Las tres siguientes proposiciones constituyen el sistema de axiomas de la teoría de probabilidades. | para esto consideramos un espacio de sucesos elementales W, y una cierta sigm-álgebra de sucesos A<sub>s</sub>. Con las letras '''A''', '''B''', '''C''' ( con subíncices o sin ellos) en los sigue denotamos a los sucesos, esto es a los elementos del sigm-álgebra de sucesos A<sub>s</sub>. Las tres siguientes proposiciones constituyen el sistema de axiomas de la teoría de probabilidades. | ||
| − | + | === Axioma I.=== | |
A cada suceso '''A''' le corresponde un número no negativo '''P'''('''A''') llamado probabilidad del suceso '''A'''. | A cada suceso '''A''' le corresponde un número no negativo '''P'''('''A''') llamado probabilidad del suceso '''A'''. | ||
| − | + | === Axioma II.=== | |
'''P'''(W) = 1. | '''P'''(W) = 1. | ||
| − | + | === Axioma III.=== | |
Si A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ... es un conjunto finito o numerable de sucesos incompatibles dos a dos, entonces: | Si A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ... es un conjunto finito o numerable de sucesos incompatibles dos a dos, entonces: | ||
:::::: la probalidad de la unión de todos ellos es igual a la sumatoria de las probabilidades de todos ellos. <ref>Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente o como conjuntos son disjuntos </ref> | :::::: la probalidad de la unión de todos ellos es igual a la sumatoria de las probabilidades de todos ellos. <ref>Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente o como conjuntos son disjuntos </ref> | ||
| − | Este sistema de axiomas fue propuesto por A. N. Kolmogórov en 1933 y es el empleado en la actualidad. | + | *Este sistema de axiomas fue propuesto por A. N. Kolmogórov en 1933 y es el empleado en la actualidad. |
| + | * En el área del análisis real una probabilidad '''P''' es una función de conjunto numerablemente aditiva y anegativa, esto es, una medida positiva, que cumple además la exigencia de '''P'''(W) = 1. | ||
| + | * La terna (W, A<sub>s</sub>, '''P''') donde '''P''' es la probabilidad definida para cada elemento de la sigma-álgebra A<sub>s</sub>- o bien para cada suceso- y que cumple el sistema de axiomas presentado, se llama '''espacio de probabilidades'''. | ||
| + | *En análisis real, un ''espacio de probabilidades'' es un espacio medible (W, A<sub>s</sub>) con una medida anegativa '''P''', que satisface '''P'''(W) = 1. | ||
==Fuente== | ==Fuente== | ||
Revisión del 00:54 9 nov 2019
La axiomática de Kolmogórov, en matemática y especialmente en cálculo de probabilidades, se refiere a que la teoría de probabilidades se puede construir sobre la base de un sistema axiomático, así como la aritmética de números naturales (axiomas de Peano), la geometría elemental ( Euclides- Hilbert), etc.
Sumario
Definiciones previas
- Consideramos un cierto conjunto no vacío W de elementos, que los llamamos sucesos elementales o puntos, denotados con w subindizado o no. El conjunto W se nombra espacio de sucesos elementales.
- Sea As una colección no vacía de subconjuntos de W, que cumple los siguientes requisitos.
- 1. Si A está en As, entonces W\A está en As:
- 2. Si A1, A2, ... es una sucesión finita o infinita de subconjuntos pertenecientes a As, entonces la unión de todos ellos está en As.
- La colección As se llama sigma-álgebra de sucesos o campo boreliano de sucesos y sus elementos ( subconjuntos de W) se llaman sucesos.
Observamos que W está en As, también el conjunto vacío- llamado suceso imposible también pertenece a As. Si A1, A2, ... es una sucesión finita o infinita de subconjuntos pertenecientes a As, entonces la intersección de todos estos sucesos pertenece a As.
Axiomas
para esto consideramos un espacio de sucesos elementales W, y una cierta sigm-álgebra de sucesos As. Con las letras A, B, C ( con subíncices o sin ellos) en los sigue denotamos a los sucesos, esto es a los elementos del sigm-álgebra de sucesos As. Las tres siguientes proposiciones constituyen el sistema de axiomas de la teoría de probabilidades.
Axioma I.
A cada suceso A le corresponde un número no negativo P(A) llamado probabilidad del suceso A.
Axioma II.
P(W) = 1.
Axioma III.
Si A1, A2, ... es un conjunto finito o numerable de sucesos incompatibles dos a dos, entonces:
- la probalidad de la unión de todos ellos es igual a la sumatoria de las probabilidades de todos ellos. [1]
- Este sistema de axiomas fue propuesto por A. N. Kolmogórov en 1933 y es el empleado en la actualidad.
- En el área del análisis real una probabilidad P es una función de conjunto numerablemente aditiva y anegativa, esto es, una medida positiva, que cumple además la exigencia de P(W) = 1.
- La terna (W, As, P) donde P es la probabilidad definida para cada elemento de la sigma-álgebra As- o bien para cada suceso- y que cumple el sistema de axiomas presentado, se llama espacio de probabilidades.
- En análisis real, un espacio de probabilidades es un espacio medible (W, As) con una medida anegativa P, que satisface P(W) = 1.
Fuente
- V. Petrov- E. Mordecki: Teoría de probabilidades
Notas y referencias
- ↑ Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente o como conjuntos son disjuntos
