Diferencia entre revisiones de «Grupo conmutativo»
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** Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ''^'' se ve que ''1^1=1'' y que en cualquier caso ''1^x=x^1=x''; entonces, ''1'' es el neutro de ''B'' para la ''y lógica''. | ** Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ''^'' se ve que ''1^1=1'' y que en cualquier caso ''1^x=x^1=x''; entonces, ''1'' es el neutro de ''B'' para la ''y lógica''. | ||
** El inverso de todos los elementos de ''B'' es ''0''. | ** El inverso de todos los elementos de ''B'' es ''0''. | ||
| − | ** El análisis de la conmutatividad de ''^'' se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir ''1^0=0^1=0'' lo cual verifica el hecho de que es | + | ** El análisis de la conmutatividad de ''^'' se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir ''1^0=0^1=0'' lo cual verifica el hecho de que es conmutativa. |
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Revisión del 23:43 20 feb 2012
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Grupo conmutativo. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el grupo algebraico <G,*> donde además * es una operación asociativa.
Definición.
Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z y se satisfacen los siguientes axiomas:
- Clausura:
. * es cerrada. - Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).
- Existencia del neutro: Existe uno y solo un elemento e de G tal que para todo x de G se cumple que x*e=e*x=x. e es llamado neutro para * en G.
- Existencia de los inversos: Para todo x en G, existe un único elemento x" también en G, que satisface x*x"=x"*x=e. A x" se denomina inverso de x según *.
- Conmutatividad: Para todos x e y de G, se cumple x*y=y*x.
Se dice que G con la operación * es un grupo conmutativo o grupo abeliano.
Es fácil notar que los axiomas del 1 al 4 definen el concepto de grupo, solo el 5to viene a distinguir; por tanto puede decirse que todo grupo abeliano es claramente un grupo, lo contrario no.
Ejemplos.
- Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda k entera su opuesto -k es el inverso, en este caso además la suma es conmutativa por tanto es también un grupo abeliano.
- En cambio, los naturales y la adición no son un grupo conmutativo porque incumplen la existencia del un neutro y no existen los inversos.
- Sea Mn el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que <Mn,+> es un grupo conmutativo.
- Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
- La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
es el neutro para la suma.- Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas
se tiene su inverso dado por 
y según la suma de matrices 
. - La suma de matrices cuadradas de orden n es conmutativa.
- También es un grupo conmutativo <Mn,m,+>, donde Mn,m es el conjunto de matrices de n filas y m columnas.
- Sea un cuerpo <C,*,@>; <C,*> y <C,@> son grupos abelianos por la definición del mismo.
- Para el conjunto de cifras binarias B={0,1} y la operación binaria ^ (AND ó y lógico) definida como {<0,0,0>,<0,1,0>,<1,0,0>,<1,1,1>} es un grupo abeliano porque:
- Por la definición de ^ se observa que es autocontenida o cerrada en B.
- Es asociativa.
- Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ^ se ve que 1^1=1 y que en cualquier caso 1^x=x^1=x; entonces, 1 es el neutro de B para la y lógica.
- El inverso de todos los elementos de B es 0.
- El análisis de la conmutatividad de ^ se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir 1^0=0^1=0 lo cual verifica el hecho de que es conmutativa.
Fuentes.
- Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
- Grupo conmutativo en Wikipedia.
