Espacio topológico

Espacio topológico. El concepto de espacio topológico es una generalización de espacio métrico y sirve para estudiar, bÁsicamente, los problemas de conTInuidad de funciones definidas en espacios toopológicos y acudiendo al uso de abiertos en sus respectivas topologías. Para la definición de este último concepto, generalmente, se hace de manera axiomática.

Definición

Dado un conjunto X no vacío, con una familia de subconjuntos de X, previamente, se construye una topología T, usando dichos subconjuntos con los siguientes axiomas:

• T1. X y el conjunto vacío {} son elementos de T.
• T2. Cualquiera unión de elementos de T es un elemento de T.
• T3. La intersección finita de elementos de T es también miembro de T.

En estas condiciones , el par (X,T) se denomina espacio toplógico, y a los miembros de T se los nombra " abiertos del espacio topológico" (X,T).

Ejemplos

• Sea el conjunto X = {a, b, c} , y T = {{}, {a}, {b}, {a,b}, X}, entonces (X, T) es un espacio topológico.
• Para cualquier conjunto X no vacío , {{}. T} se llama la topología trivial de X.
• La colección de todos los subconjuntos de X, es una topología de X, llamada topología discreta de X.
• En la llamada topología usual de la recta un subconjunto A de números reales es abierto si para todo elemento x de A, existe un intervalo abierto tal que x es elemento de dicho intervalo que queda contenido en el conjunto A.
• Dado el conjunto X= {0,1} la familia de subconjuntos de X, T= {{},{0}, X} se llama la topología de Sierpinski y el par (X,T) se denomina el espacio de Sierpinski.
• la familia {(p,+∞)/ p es n.real} unión {R, {}} es una topología sobre el con R de los números reales, llamada topología de las colas a derecha
• Dado X un conjunto finito la familia {A^c es finito/ A parte de X} unión {conjunto vacío} es una topología sobre x, que se llama la topología de los complementos finitos.

Comparación de topologías

Sean X un conjunto no vacío y T₁ y T₂ dos topología sobre X. Diremos que T₁ es menos fina que T₂ siempre que T₁ sea parte de T₂.

La topología indiscreta sobre X es menos fina que cualquier otra topología sobre X. Una cualquier topología sobre X es menos fina que la toplogía discreta sobre X.

Conjunto cerrado

Sea el espacio topológico X, y F un subconjunto de él, diremos que C es un conjunto cerrado si su complemento respecto a X, F^c es un abierto de de X.

Como ejemplo, el intervalo cerrado [c,d], c<d, en el conjunto de los números reales con la topología usual es un conjunto cerrado pues la unión de sus complementos (-infinito, c), (d,+infinito) es conjunto abierto, por ser la unión de numerable de los intervalos (d, d+ n), donde n es entero positivo, es conjunto abierto, como también el conjunto (c-n, c) . .

• Hay conjuntos de los reales, con la topología usual que no son ni cerrados ni abiertos, como el conjunto Q de los racionales y el conjunto Q^c de los irracionales. De igual manera los intervalos (a,b] y [a,b).
• Hay conjuntos que son cerrados y abiertos a la vez, tal el caso del conjunto R de los reales y del conjunto vacío.

Proposición

Los conjuntos X, {}, la unión finita de conjuntos cerrados y la intersección cualquiera de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado..

Interior de un conjunto

Sea b un elemento de un conjunto H y es parte de X. Diremos que b es punto interior de H, si existe un abierto W del espacio X, tal que b esté en W y esté esté contenido en X. Al conjunto de todos los puntos interiores de H , se llama interior de H y se denota: H^º.

Como ejemplos, con la topología usual de la recta, el ineterior de el intervalo abierto (c,d) es el mismo conjunto ; el interior de los intervalos (c, d], [c,d,), [c, d] es el intervalo (c,d).

• El interior del conjunto Q de los números racionales, con la topología usual de R es el conjunto vacío., pues para cualquier racional q, el intervalo (q-1/n, q+1/n) no está contenido en Q.
• El conjunto Z de todos los enteros es un conjunto cerrado.

Proposición

• El interior del conjunto H es la unión de los abiertos contenidos en H.
• El interior del conjunto H es parte de H, en cualquiera topología X que contiene a H.
• Si H es parte de K, entonces el interior de H es parte del interior de K.
• Un conjunto H es abierto si es igual a su interior, esto es, H = H^º.

Clausura de un conjunto

Clausura o adherencia´del conjunto A de un espacio X, es intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen al conjunto A. Se denota cl(A). A la clausura se le conoce también con el nombre de adherencia..

• La clausura de los intervalos finitos , de extremos a y b, de la recta con la topología usual es el intervalo cerrado [a,b] .
• La clausura del conjunto del conjunto S= (2,5] U{6}U[7,9) = [2,5]U {6}U [7,9]. La clausura del conjunto Q de los racionales y de su complemento Q^c es el conjunto R de todos los reales.
• La clausura del conjunto Q de todos los racionales y del conjunto Q^c de todos los irracionales es el conjunto R de todos los reales.

Proposiciones

• La clausura de un conjunto A de un espacio X es un conjunto cerrado, pues es una intersección de cerrados que contienen A.
• Cabe la ordenación Int(A) ⊂ A ⊂ Cl(A).
• Cuando G ⊂ H, entonces Cl(G ) ⊂ CL(H).
• Un conjunto es cerrado si sólo si es igual a su clausura. Esto es, A = Cl(A). De modo que la clausura de los números enteros, en la topología usual de los reales, es el mismo Z de los enteros. Tambien la clausura de {x} es el mismo conjunto. Cl{x} = {x}

Exterior de un conjunto

Un punto e se llama punto exterior del conjunto A de un espacio X, si existe una abierto W, tal que e es elemento de W, y este es parte del complemento de A= X\A. El conjunto de todos los puntos exteriores de A se llama exterior de A y se denota Ext(A).

Como ejemplos:

• Ext[a,b] = (-∞, a) ∪ (b, +∞)
• Ext (B(P; r)) = {y/ y está en R², d(y,P) >= r}. El exterior de la bola abierta de centro P, radio r -real positivo- es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a P no es menor que r.

Frontera de un conjunto

Un punto y es punto frontera del conjunto A de un espacio X, si todo abierto V que contiene a y, contiene algún punto del interior de A, como del exterior de A. Al conjunto de los los puntos frontera de A se llama frontera de A y se denota Fr(A).

Punto de acumulación

Sea M un conjunto del espacio X y p' un punto del espacio y V un abierto que contiene p. Se dice que p es punto de acumulación de M, si la intersección de V\{p} con M es no vacía. El conjunto de los puntos de acumulación se llama conjunto derivado de M y se denota Der(M).

Un ejemplo clásico y recurrente es el siguiente. Sea K el conjunto de los inversos de los enteros positivos, K ={1/n: n es entero positivo}. El punto de acumulación de K es 0; pues en (-r,r)\{0} ∩ K siempre hay un elemento de K, r es real positivo tan pequeño como se quiera.

Bibliografía

• M. Garcia Marrero y otros: Topología general. Editorial Alhambra, Madrid (1975) ISBN 84-205-0557-9 (obra completa)
• James R. Munkres: Topología. Pearspn Prentice Hall, Madrid (2008) ISBN 978-84-205-3180-9
• Ayala y otros. Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0
• Kolmogórov & Fomín. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional. Editorial MIR, Moscú -1972, traduución del ruso de Carlos Vega, impreso en URSS.