Diferencia entre revisiones de «Grupo cíclico»
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*El grupo de los números enteros con la suma de números enteros ''(Z,+)'' es un grupo cíclico cuyo generador es el elemento 1. Por ejemplo, 2 = 1+1, 3 =1+1+1, 4=1+1+1+1, etc. Suele escribirse ''Z = <1>''. | *El grupo de los números enteros con la suma de números enteros ''(Z,+)'' es un grupo cíclico cuyo generador es el elemento 1. Por ejemplo, 2 = 1+1, 3 =1+1+1, 4=1+1+1+1, etc. Suele escribirse ''Z = <1>''. | ||
| − | *El grupo cíclico de orden 2, ''(Z<sub>2</sub>, +)'' es el conjunto ''Z<sub>2</sub> = { 0, 1 } '', donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 1+1=0, 1+0=1. El elemento 1 es el generador del grupo y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es [[Grupo conmutativo|abeliano]]. Z<sub>2</sub> '' = <1 | 1+1=0> ''. | + | *El grupo cíclico de orden 2, ''(Z<sub>2</sub>, +)'' es el conjunto ''Z<sub>2</sub> = { 0, 1 } '', donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 1+1=0, 1+0=1. El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 2 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es [[Grupo conmutativo|abeliano]]. Z<sub>2</sub> '' = <1 | 1<sup>2</sup> = 0 > ''. |
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| + | *El grupo cíclico de orden 3, ''(Z<sub>3</sub>, +)'' es el conjunto ''Z<sub>3</sub> = { 0, 1, 2 } '', donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 0+2 =2, 1+0=1, 1+1=2, 1+2=0, 2+0=2, 2+1=0, 2+2=1 . El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 3 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. Z<sub>3</sub> '' = <1 | 1<sup>3</sup> = 0> ''. | ||
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Revisión del 13:32 30 nov 2016
Un grupo es cíclico cuando existe uno de sus elementos que genera a todos los otros. Sea el grupo (A,•) donde A es un conjunto no vacío y • es la operación binaria para la que (A,•) tiene estructura de grupo (notación multiplicativa). Entonces, el grupo es cíclico si existe un elemento a de A (llamado generador) tal que A = { an=a•••a | n natural } [1].
Ejemplos
- El grupo de los números enteros con la suma de números enteros (Z,+) es un grupo cíclico cuyo generador es el elemento 1. Por ejemplo, 2 = 1+1, 3 =1+1+1, 4=1+1+1+1, etc. Suele escribirse Z = <1>.
- El grupo cíclico de orden 2, (Z2, +) es el conjunto Z2 = { 0, 1 } , donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 1+1=0, 1+0=1. El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 2 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. Z2 = <1 | 12 = 0 > .
- El grupo cíclico de orden 3, (Z3, +) es el conjunto Z3 = { 0, 1, 2 } , donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 0+2 =2, 1+0=1, 1+1=2, 1+2=0, 2+0=2, 2+1=0, 2+2=1 . El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 3 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. Z3 = <1 | 13 = 0> .
