Diferencia entre revisiones de «Grupo (matemáticas)»
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Es decir, ''(A,*)'' debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)<ref>José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño Sierra; ''Introducción al álgebra'', Lightning Source, ([[2006]])</ref><ref>Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley; ''Introducción moderna a la matemática superior'', Ediciones del Castillo, Madrid. ([[1967]]).</ref>: | Es decir, ''(A,*)'' debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)<ref>José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño Sierra; ''Introducción al álgebra'', Lightning Source, ([[2006]])</ref><ref>Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley; ''Introducción moderna a la matemática superior'', Ediciones del Castillo, Madrid. ([[1967]]).</ref>: | ||
| − | *'''La ley u operación ''*'' es interna''', esto es, para cada par de elementos ''x'' e ''y'' de ''A'', la composición ''x*y'' debe ser un elemento de ''A''. | + | *'''La ley u operación ''*'' es interna''', esto es, para cada par de elementos ''x'' e ''y'' de ''A'', la composición ''x*y'' debe ser un elemento de ''A''. Se conoce también como ''propiedad clausurativa'' |
*'''Asociatividad para la ley ''*''''', esto es, para cualquier terna ''x'', ''y'' y ''z'' debe cumplirse que ''x*(y*z) = (x*y)*z''. | *'''Asociatividad para la ley ''*''''', esto es, para cualquier terna ''x'', ''y'' y ''z'' debe cumplirse que ''x*(y*z) = (x*y)*z''. | ||
*'''Existe un elemento ''e'' de ''A'' que es el neutro para ''*''''', esto es, para cualquier ''x'' de ''A'', se cumple ''x*e = x'' y ''e*x = x''. | *'''Existe un elemento ''e'' de ''A'' que es el neutro para ''*''''', esto es, para cualquier ''x'' de ''A'', se cumple ''x*e = x'' y ''e*x = x''. | ||
Revisión del 14:35 1 abr 2017
En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto A no vacío y una ley de composición interna *. La estructura se denota por (A,*). Para que el par (A,*) sea un grupo debe ser un monoide o semigrupo y, además, para cada elemento de A debe existir un elemento simétrico.
Es decir, (A,*) debe cumplir los siguientes requisitos (los tres primeros son propios de monoide)[1][2]:
- La ley u operación * es interna, esto es, para cada par de elementos x e y de A, la composición x*y debe ser un elemento de A. Se conoce también como propiedad clausurativa
- Asociatividad para la ley *, esto es, para cualquier terna x, y y z debe cumplirse que x*(y*z) = (x*y)*z.
- Existe un elemento e de A que es el neutro para *, esto es, para cualquier x de A, se cumple x*e = x y e*x = x.
- Todo elemento de A tiene simétrico, esto es, para todo elemento x de A existe un elemento y tal que x*y = e = y*x.
Ejemplos
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con la suma de reales, (R,+). El elementro neutro del grupo es 0 y el simétrico de x es -x ya que x - x = 0 (notación aditiva).
- El conjunto de los reales tiene estructura de grupo con el producto de reales, (R,·). El elementro neutro del grupo es 1 y el simétrico de x es 1/x ya que x·(1/x) = 1 (notación multiplicativa).
- El conjunto de los complejos tiene estructura de grupo con la suma de los complejos.
- El conjunto de las matrices reales y cuadradas de dimensión n tiene estructura de grupo con la suma de matrices. El elemento neutro es la matriz formada por ceros.
