Número imaginario puro

Los números complejos facilitan la solución de la ecuación cuadrática a x²+bx+c=0 cuando el discriminante d = b²-4ac<0. Pues, los números complejos z, se pueden representar en el plano como pares ordenados (x; y) de números reales. A x se llama parte real de z, a y. parte imaginaria de z; simbólicamente Rez = x; Imz = y. En el caso de que Rez=0, se dice que z=(0; y) es un imaginario puro .Un conjunto de números, de un origen no comprendido debidamente aún por genios del renacimiento, actualmente es usado en diversas ramas de la matemática. El símbolo i fue propuesto por el genial y prolífico matemático suizo, Leonard Euler.

Definición

Un número complejo xi, donde i² = -1, se denomina número imaginario puro . Esto es 0+xi = xi.

0tras representaciones

• Como par ordenado de números z = (0; y)
• En forma trigonométrica Z= cos90º + x sen90º i
• Como exponencial: z = xe^{i π/2}

Propiedades

• El conjunto I de todos los números imaginarios puros, respecto a la adición de números complejos, forma un grupo abeliano.

1. pues se cumple la asociatividad: si+(xi+yi) = (si+xi)+yi
2. el elemento neutro es 0i = 0+0i. Para todo xi, se cumple xi+0i=xi
3. para el elemento xi, existe su opuesto -xi, de modo que la suma de ellos es 0i. xi+(-xi) =0i
4. conmutatividad: xi+yi=yi+xi

• Los imaginarios puros están ubicados en el eje Oy
• El número complejo z es imaginario puro si su parte real es cero: Re z = 0.
• El conjunto H= {1, -1,i,-i} forma un grupo multiplicativo.
• Las raíces cuadradas de un número negativo h son dos imaginarios puros opuestos. Las raíces cuadradas de -4 son: 2i, -2i.
• La exponencial compleja iⁱ = π/2 como valor principal
• Las potencias de exponente 4k de un imaginario puro es un número imaginario puro

Fuente bibliográfica

Álgebra y análisis de Nikolsky

Bibliografía

Álgebra superior de G. M. Bruño

Véase también

• Pares ordenados
• Números reales
• Números complejos