Homomorfismo de grupos

Homomorfismo de grupos

Homomorfismo de grupos. Función que se establece entre grupos para conservar la estructura de los mismos.

Definición

Si para dos grupos B y C y una aplicación

f: B → C. Se cumple que:

    f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y).

Significa que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.

Debemos tener en cuenta que el signo + no representa la operación suma, sino la operación que se ha definido en el conjunto para que tenga estructura de grupo.

Teorema

Sean B y C dos grupos y f: B → C un homomorfismo. Se cumple que:

1. si 1_B y 1_C son las identidades de B y C, respectivamente, entonces f(1_B) = 1_C; Al elemento neutro del dominio, le corresponde el elemento neutro del codominio, según un homomorfismo.

2. si x está en B entonces f(x ^{− 1}) = f(x) ^{− 1}.. La imagen del inverso es igual al inverso de la imagen.

Núcleo de un homomorfismo

Sean B y C dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto.

Ker f = { x Archivo:Pertenece.JPG B / f(x)= 1_C, donde 1_C es la identidad de C.

Tipos de homomorfismos

• Un homomorfismo suprayectivo se llama epimorfismo.

• Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo.

• Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.

• Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo.

Fuentes

• Wikipedia en Español
• Domotica