Diferencia entre revisiones de «Homomorfismo de grupos»
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Sean B y C dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El [[núcleo]] de f se define como el [[conjunto]]. | Sean B y C dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El [[núcleo]] de f se define como el [[conjunto]]. | ||
| − | Ker f = { x | + | Ker f = { x está en B / f(x)= 1<sub>C</sub>, donde 1<sub>C</sub> es la identidad de C. El núcleo de un homomorfismo es el conjunto de todos los elementos del dominio cuya imagen es igual al elemento neutro del codominio. |
| + | : Ejemplo si f es el homomorfismo del grupo aditivo Z de los números enteros en el grupo Z<sub>5</sub> de los restos de congruencia módulo 5, formado por {0,1,2, 3,4}, Kerf = {x entero/ x = múltiplo de 5} | ||
| + | : Kerf es un subgrupo normal; en el ejemplo, los múltiplos de 5, con la adición, forman un subgrupo normal De Z. | ||
== Tipos de homomorfismos == | == Tipos de homomorfismos == | ||
Revisión del 00:39 18 nov 2018
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Homomorfismo de grupos. Función que se establece entre grupos para conservar la estructura de los mismos.
Definición
Si para dos grupos B y C y una aplicación
f: B → C. Se cumple que:
f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y).
Significa que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.
Debemos tener en cuenta que el signo + no representa la operación suma, sino la operación que se ha definido en el conjunto para que tenga estructura de grupo.
Teorema
Sean B y C dos grupos y f: B → C un homomorfismo. Se cumple que:
1. si 1B y 1C son las identidades de B y C, respectivamente, entonces f(1B) = 1C; Al elemento neutro del dominio, le corresponde el elemento neutro del codominio, según un homomorfismo.
2. si x está en B entonces f(x − 1) = f(x) − 1.. La imagen del inverso es igual al inverso de la imagen.
Núcleo de un homomorfismo
Sean B y C dos grupos y sea f un homomorfismo entre ellos. El núcleo de f se define como el conjunto.
Ker f = { x está en B / f(x)= 1C, donde 1C es la identidad de C. El núcleo de un homomorfismo es el conjunto de todos los elementos del dominio cuya imagen es igual al elemento neutro del codominio.
- Ejemplo si f es el homomorfismo del grupo aditivo Z de los números enteros en el grupo Z5 de los restos de congruencia módulo 5, formado por {0,1,2, 3,4}, Kerf = {x entero/ x = múltiplo de 5}
- Kerf es un subgrupo normal; en el ejemplo, los múltiplos de 5, con la adición, forman un subgrupo normal De Z.
Tipos de homomorfismos
- Un homomorfismo suprayectivo se llama epimorfismo.
- Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo.
- Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.
- Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo.
