Diferencia entre revisiones de «Axiomática de Kolmogórov»
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* Sea A<sub>s</sub> una colección no vacía de subconjuntos de W, que cumple los siguientes requisitos. | * Sea A<sub>s</sub> una colección no vacía de subconjuntos de W, que cumple los siguientes requisitos. | ||
:1. Si '''A''' está en A<sub>s</sub>, entonces W\A está en A<sub>s</sub>: | :1. Si '''A''' está en A<sub>s</sub>, entonces W\A está en A<sub>s</sub>: | ||
Revisión del 00:05 9 nov 2019
La axiomática de Kolmogórov, en matemática y especialmente en cálculo de probabilidades, se refiere a que la teoría de probabilidades se puede construir sobre la base de un sistema axiomático, así como la aritmética de números naturales (axiomas de Peano), la geometría elemental ( Euclides- Hilbert), etc.
Definiciones previas
- Consideramos un cierto conjunto no vacío W de elementos, que los llamamos sucesos elementales o puntos, denotados con w subindizado o no. El conjunto W se nombra espacio de sucesos elementales.
- Sea As una colección no vacía de subconjuntos de W, que cumple los siguientes requisitos.
- 1. Si A está en As, entonces W\A está en As:
- 2. Si A1, A2, ... es una sucesión finita o infinita de subconjuntos pertenecientes a As, entonces la unión de todos ellos está en As.
- La colección As se llama sigma-álgebra de sucesos o campo boreliano de sucesos y sus elementos ( subconjuntos de W) se llaman sucesos.
Observamos que W está en As, también el conjunto vacío- llamado suceso imposible también pertenece a As. Si A1, A2, ... es una sucesión finita o infinita de subconjuntos pertenecientes a As, entonces la intersección de todos estos sucesos pertenece a As.
Axiomas
para esto consideramos un espacio de sucesos elementales W, y una cierta sigm-álgebra de sucesos As. Con las letras A, B, C ( con subíncices o sin ellos) en los sigue denotamos a los sucesos, esto es a los elementos del sigm-álgebra de sucesos As. Las tres siguientes proposiciones constituyen el sistema de axiomas de la teoría de probabilidades.
- Axioma I.
A cada suceso A le corresponde un número no negativo p(A) llamado probabilidad del suceso A.
- Axioma II.
P(W) = 1.
- Axioma III.
Si A1, A2, ... es un conjunto finito o numerable de sucesos incompatibles dos a dos, entonces:
- la probalidad de la unión de todos ellos es igual a la sumatoria de las probabilidades de todos ellos. <ref>Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía o como conjuntos son disjuntos <ref>
Este sistema de axiomas fue propuesto por A. N. Kolmogórov en 1933 y es el empleado en la actualidad.
Fuente
- V. Petrov- E. Mordecki: Teoría de probabilidades
