Teorema de Euler - Fermat

El Teorema de Euler- Fermat, una proposición de la teoría de números, no es sino la generalización del “Pequeño teorema de Fermat”, realizada por Leonardo Euler. Es una función aritmética definida para n natural mediante la llamada función fi de Euler.

Siendo f(n) = cantidad de números enteros s tales que 1 <= s <= n y el mcd de s y n es 1.

Presentamos casos ilustrativos:

f(1 ) = 1; f(2) = 1; F(3) = 2; f(4) = 2; f(5) = 4; f(6) = 2

f(7 ) = 6; f(8) = 4; f(9) = 4; f(10) = 4; f(11) = 10; f(12) = 4

Puede observarse que si p es primo su función fi de p es p-1.

Enunciado del TEF

“ Si m es un número natural entonces para todo entero z , primo relativos con m, el número zexp(fi(m)) - 1 es múltiplo de m".

De otro modo si (a,m) = 1 , entonces a^t, donde t es la función fi de Euler para m, es congruente con 1 respecto a módulo m.

Nota Histórica

Honra la memoria de dos teóricos de números, pues ya fue atisbada por Fermat, pero el que lo formalizó debidamente fue Euler.

Proposición

Si (a,m) = 1 y k el menor exponente positivo para el cual a^k ~ 1(mod m) y si a^l ~ 1 (mod m) entonces l es múltiplo de k.

Corolario

Cuando k es el exponente mínimo positivo para el cual a^k ~ 1 (mod m), entonces r es factor de f(m) , siendo esta la función fi de Euler.

Fuente

• Enzo R. Gentile: Aritmética elemental
• https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler