Modelo de Van Hiele

Modelo de Van Hiele En los profesores de la Enseñanza Media existe un sentimiento de impotencia frente al progreso realizado por una parte más o menos importante de sus alumnos durante el curso, al darse cuenta de una serie de problemas que se les presentan: En muchas ocasiones no pueden conseguir que los estudiantes comprendan algún concepto nuevo; otras veces parece que éstos “se saben” los conceptos o propiedades que el profesor les acaba de introducir, pero sólo son capaces de usarlos en ejemplos idénticos a los resueltos con la ayuda del profesor; también ocurre, que los estudiantes pueden resolver problemas concretos con bastante habilidad, pero carecen de ideas cuando deben resolver esos mismos problemas planteados en un contexto algo diferente, abstracto o más formalizado.

La preocupación ante este problema experimentada por dos profesores holandeses, que daban clase de matemáticas en Enseñanza Media, les indujo a estudiar a fondo la situación para tratar de encontrarle alguna solución. Estos profesores son Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof.

Enunciado del modelo de Van Hiele.

• Se pueden encontrar varios niveles diferentes de perfección en el razonamiento de los estudiantes de matemáticas.
• Un estudiante sólo podrá comprender realmente aquellas partes de las matemáticas que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razonamiento.
• Si una relación matemática no puede ser expresada en el nivel actual de razonamiento de los estudiantes, será necesario esperar a que éstos alcancen un nivel de razonamiento superior para presentársela.
• No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma. Pero sí se le puede ayudar, mediante una enseñanza adecuada de las matemáticas, a que llegue lo antes posible a razonar de esa forma.

El modelo de Van Hiele está formado, realmente, por dos partes: La primera de ellas es descriptiva, ya que identifica una secuencia de tipos de razonamiento, llamados los “niveles de razonamiento”, a través de los cuales progresa la capacidad de razonamiento matemático de los individuos desde que inician su aprendizaje hasta que llegan a su máximo grado de desarrollo intelectual en este campo. La otra parte del modelo da a los profesores directrices sobre cómo pueden ayudar a sus alumnos para que puedan alcanzar con más facilidad un nivel superior de razonamiento; estas directrices se conocen con el nombre de “fases de aprendizaje”.

Si bien la filosofía que inspira el modelo de Van Hiele se refiere al razonamiento y aprendizaje de las matemáticas en general, tanto las observaciones iniciales de los esposos Van Hiele como todos los estudios relevantes que se han hecho desde entonces están centrados en la geometría. Es sumamente difícil aplicar el modelo de Van Hiele a áreas de las matemáticas diferentes de la geometría y que para ello sería necesario realizar cambios muy drásticos en las caracterizaciones de los niveles.

Los niveles de razonamiento de Van Hiele.

• Nivel 1 (de reconocimiento)

1. Los estudiantes perciben las figuras geométricas en su totalidad, de manera global, como unidades, pudiendo incluir atributos irrelevantes en las descripciones que hacen.
2. Perciben las figuras como objetos individuales, es decir que no son capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de su misma clase.
3. Los estudiantes se limitan a describir el aspecto físico de las figuras; los reconocimientos, diferenciaciones o clasificaciones de figuras que realizan se basan en semejanzas o diferencias físicas globales entre ellas.
4. En muchas ocasiones las descripciones de las figuras están basadas en su semejanza con otros objetos (no necesariamente geométricos) que conocen; suelen usar frases como “... se parece a ...”, “... tiene forma de ...”, etc.
5. Los estudiantes no suelen reconocer explícitamente las partes de que se componen las figuras ni sus propiedades matemáticas.

Se trata de un nivel de razonamiento típico de los primeros cursos de Enseñanza General Básica, pero no es exclusivo suyo; en realidad, cada vez que se presente a los estudiantes algún concepto geométrico nuevo, éstos van a pasar por el nivel 1, si bien algunas veces ese paso será muy rápido.

• Nivel 2 (de análisis)

1. Los estudiantes se dan cuenta de que las figuras geométricas están formadas por partes o elementos y de que están dotadas de propiedades matemáticas; pueden describir las partes que integran una figura y enunciar sus propiedades, siempre de manera informal.
2. Además de reconocer las propiedades matemáticas mediante la observación de las figuras y sus elementos, los estudiantes pueden deducir otras propiedades generalizándolas a partir de la experimentación.
3. Sin embargo, no son capaces de relacionar unas propiedades con otras, por lo que no pueden hacer clasificaciones lógicas de figuras basándose en sus elementos o propiedades.

El nivel 2 es el primero que ofrece un razonamiento que podemos llamar “matemático”, pues es el primero en el que los estudiantes son capaces de descubrir y generalizar (necesariamente a partir de la observación y la manipulación) propiedades que todavía no conocían. Sin embargo, esta capacidad de razonamiento es limitada, pues usarán las propiedades de una figura como si fueran independientes entre sí.

• Nivel 3 (de clasificación):

1. En este nivel comienza la capacidad de razonamiento formal (matemático) de los estudiantes: Ya son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de descubrir esas implicaciones; en particular, pueden clasificar lógicamente las diferentes familias de figuras a partir de sus propiedades o relaciones ya conocidas. No obstante, sus razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación.
2. Los estudiantes pueden describir una figura de manera formal, es decir, pueden dar definiciones matemáticamente correctas, comprenden el papel de las definiciones y los requisitos de una definición correcta.
3. Si bien los estudiantes comprenden los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal, los ven de forma aislada, ya que no comprenden la necesidad del encadenamiento de estos pasos ni entienden la estructura de una demostración: Pueden entender una demostración explicada por el profesor o desarrollada en el libro de texto, pero no son capaces de construirla por sí mismos.
4. Al no ser capaces de realizar razonamientos lógicos formales ni sentir su necesidad, los estudiantes no comprenden la estructura axiomática de las matemáticas.

Si la capacidad de razonamiento propia del nivel 2 no permitía a los estudiantes entender que unas propiedades pueden deducirse de otras, al alcanzar el nivel 3 habrán adquirido esta habilidad de conectar lógicamente diversas propiedades de la misma o de diferentes figuras.

Aunque este avance en la habilidad de razonamiento es muy importante, no es más que un paso intermedio en el camino que lleva a la comprensión completa de los sistemas axiomáticos formales que sostienen las matemáticas. En efecto, la capacidad de los estudiantes se limitará a realizar pequeñas deducciones, es decir, implicaciones simples.

• Nivel 4 (de deducción formal)

1. Alcanzado este nivel, los estudiantes pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales; las demostraciones (de varios pasos) ya tienen sentido para ellos y sienten su necesidad como único medio para verificar la verdad de una afirmación.
2. Los estudiantes pueden comprender la estructura axiomática de las matemáticas, es decir el sentido y la utilidad de términos no definidos, axiomas, teoremas, ...
3. Los estudiantes aceptan la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas (es decir, la existencia de demostraciones alternativas del mismo teorema), la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto, ...

Al alcanzar el nivel 4 de razonamiento se logra la plena capacidad de razonamiento lógico matemático y, al mismo tiempo, la capacidad para tener una visión globalizadora del área que se esté estudiando.

Características de los niveles.

I) La jerarquización y secuencialidad de los niveles.

Los 4 niveles representan cuatro grados de sofisticación en el razonamiento matemático que puede usar una persona. Cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior.

Los niveles de Van Hiele tienen una estructura recursiva, ya que en el nivel N (1, 2, 3) hay determinadas habilidades que están siendo usadas implícitamente por los estudiantes y cuyo uso explícito se aprende en el nivel N+1.

Un principio básico del modelo de Van Hiele, que se deriva de esta estructura jerárquica y secuencial, es: No es posible alcanzar un nivel de razonamiento sin antes haber superado el nivel inferior.

II) Hay una estrecha relación entre el lenguaje y los niveles. Las diferentes capacidades de razonamiento asociadas a los cuatro niveles de Van Hiele no sólo se reflejan en la forma de resolver los problemas propuestos, sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a determinado vocabulario.

A cada nivel de razonamiento le corresponde un tipo de lenguaje específico. Las implicaciones que esto tiene para la actividad de los profesores en sus clases son evidentes y trascendentales: Si un profesor quiere hacerse comprender por sus alumnos, debe hablarles en su nivel de lenguaje, es decir, debe amoldarse al nivel de razonamiento de los estudiantes para, a partir de ahí, tratar de guiarles para que lleguen al nivel superior; lo contrario provocará en poco tiempo la incomprensión mutua (el profesor tampoco entiende a sus alumnos y no evalúa adecuadamente las respuestas de éstos).

III) El paso de un nivel al siguiente se produce de forma continua, es un proceso que se produce de manera gradual y que durante algún tiempo el estudiante se encontrará en un período de transición en el que combinará razonamientos de un nivel y del otro. La evidencia de este período será que el estudiante mostrará deseos de usar el nivel superior, pero cuando encuentre dificultades o dudas tenderá a refugiarse en la seguridad del nivel inferior, en el que se siente más cómodo.

Fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele.

Para completar la descripción del modelo es necesario conocer los pasos que debe seguir un profesor para ayudar a sus alumnos a subir al siguiente nivel de razonamiento.

Las “fases de aprendizaje” son etapas en la graduación y organización de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que le lleven al nivel superior de razonamiento. Es necesario conseguir, en primer lugar, que los estudiantes adquieran de manera comprensiva los conocimientos básicos necesarios (nuevos conceptos, propiedades, vocabulario, etc.) con los que tendrán que trabajar, para después centrar su actividad en aprender a utilizarlos y combinarlos. Las fases de aprendizaje propuestas por Van Hiele son cinco:

1. Información.

Se trata de una fase de toma de contacto: El profesor debe informar a los estudiantes sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, qué tipo de problemas se van a plantear, qué materia les van a utilizar, etc. Así mismo, los alumnos aprenderán a manejar el material y adquirirán una serie de conocimientos básicos imprescindibles para poder empezar el trabajo matemático propiamente dicho. Esta fase sirve para dirigir la atención de los estudiantes y permitirles que sepan qué tipo de trabajo van a hacer, y para que el profesor descubra qué nivel de razonamiento tienen sus alumnos en el nuevo tema y qué saben del mismo.

2. Orientación dirigida.

En esta fase los estudiantes empiezan a explorar el campo de estudio por medio de investigaciones basadas en el material que les ha sido proporcionado. El objetivo principal de esta fase es conseguir que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cuáles son los conceptos, propiedades, figuras, etc. principales en el área de la geometría que están estudiando. Las actividades que se les propongan deben estar convenientemente dirigidas hacia los conceptos, propiedades, etc. que deben estudiar. El trabajo que vayan a hacer estará seleccionado de tal forma que los conceptos y estructuras característicos se les presenten de forma progresiva.

3. Explicitación.

Entre las finalidades principales de esta fase es hacer que los estudiantes intercambien sus experiencias, que comenten las regularidades que han observado, que expliquen cómo han resuelto las actividades, todo ello dentro de un contexto de diálogo en el grupo. Es interesante que surjan puntos de vista divergentes, ya que el intento de cada estudiante por justificar su opinión hará que tenga que analizar con cuidado sus ideas (o las de su compañero), que ordenarlas y que expresarlas con claridad.

Esta fase tiene también la misión de conseguir que los estudiantes terminen de aprender el nuevo vocabulario, correspondiente al nuevo nivel de razonamiento que están empezando a alcanzar. En algunos casos no es conveniente, desde el punto de vista didáctico, introducir al mismo tiempo nuevos conceptos, nuevo vocabulario y nuevos símbolos. Una técnica utilizada por los maestros para reducir este problema consiste en permitir que, al principio, los niños denominen las nuevas figuras o propiedades a su gusto, hasta que hayan adquirido un dominio suficiente de las mismas. En esta fase se tendrá que hacer el paso del vocabulario de los niños al usual. Esta no es una fase de aprendizaje de cosas nuevas, sino de revisión del trabajo hecho antes, de puesta a punto de conclusiones y de práctica y perfeccionamiento en la forma de expresarse.

4. Orientación libre.

En este momento los alumnos deberán aplicar los conocimientos y lenguaje que acaban de adquirir a otras investigaciones diferentes de las anteriores. El profesor debe plantear problemas que, preferiblemente, puedan desarrollarse de diversas formas o que puedan llevar a diferentes soluciones, para de esta forma perfeccionar los conocimientos que los estudiantes poseen sobre el campo de estudio. En estos problemas se colocarán indicios que muestren el camino a seguir, pero de forma que el estudiante tenga que combinarlos adecuadamente, aplicando los conocimientos y la forma de razonar que ha adquirido en las fases anteriores. El núcleo de esta fase está formado por actividades de utilización y combinación de los nuevos conceptos, propiedades y forma de razonamiento. Los problemas de esta fase deben presentar situaciones nuevas, ser abiertos, con varios caminos de resolución. Este tipo de actividad es la que permitirá completar la red de relaciones que se empezó a formar en las fases anteriores, dando lugar a que se establezcan relaciones más complejas y más importantes.

5. Integración.

En esta fase los estudiantes deben adquirir una visión general de los contenidos y métodos que tienen a su disposición, relacionando los nuevos conocimientos con otros campos que hayan estudiado anteriormente; se trata de condensar en un todo el dominio que ha explorado su pensamiento. En esta fase el profesor puede fomentar este trabajo proporcionando comprensiones globales, pero es importante que estas comprensiones no le aporten ningún concepto o propiedad nuevos al estudiante: Solamente deben ser una acumulación, comparación y combinación de cosas que ya conoce.

Completada esta fase, los alumnos tendrán a su disposición una nueva red de relaciones mentales, más amplia que la anterior y que la sustituye, y habrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento.

Características de las fases de aprendizaje.

• En general, el proceso de desarrollo del razonamiento no puede enmarcarse en los límites de un curso escolar. La adquisición de los niveles superiores, en particular del 3 y el 4, suele ser un proceso de varios años, por lo que no es de extrañar que al terminar el curso los estudiantes sigan estando en el mismo nivel que al principio, si bien estarán más cerca de poder lograr el nivel superior.

• También puede ocurrir que a lo largo del curso los estudiantes alcancen un nivel, por lo que el profesor deberá empezar el trabajo que conduce al nivel siguiente. En este sentido, hay que tener en cuenta que los niveles no plantean rupturas en el proceso de aprendizaje, por lo que una vez completado el trabajo de la última fase de un nivel, se debe iniciar el trabajo de la primera fase del nivel siguiente.

• Las fases de aprendizaje deben reflejarse en un estilo de enseñanza de la geometría (y de las matemáticas en general) y de organización de la docencia. Las fases 2 y 4 marcan la secuenciación de las actividades para el aprendizaje de un tema y la adquisición de un nivel de razonamiento. La fase 3 debe cubrir toda la actividad en la que intervengan los estudiantes. Las fases 1 y 5 son también importantes y no hay que ignorarlas, aunque tampoco es perjudicial eliminarlas si en un momento dado se ve que son innecesarias.

No se debe intentar seguir las pautas de ninguna teona psico-pedagógico-didáctico-educativa al pie de la letra, pues nos movemos en un terreno (la educación matemática) en el que el elemento principal, los alumnos, es enormemente diverso y, por lo tanto, es necesario que los profesores estén libres para hacer modificaciones de acuerdo con la situación concreta del momento.

Fuentes

• Modelo de Van Hiele