Espacio topológico

Espacio topológico. El concepto de espacio topológico es una generalización de espacio métrico y sirve para estudiar, bÁsicamente, los problemas de conTInuidad de funciones definidas en espacios toopológicos y acudiendo al uso de abiertos en sus respectivas topologías. Para la definición de este último concepto, generalmente, se hace de manera axiomática.

Definición

Dado un conjunto X no vacío, con una familia de subconjuntos de X, previamente, se construye una topología T, usando dichos subconjuntos con los siguientes axiomas:

• T1. X y el conjunto vacío {} son elementos de T.
• T2. Cualquiera unión de elementos de T es un elemento de T.
• T3. La intersección finita de elementos de T es también miembro de T.

En estas condiciones , el par (X,T) se denomina espacio toplógico, y a los miembros de T se los nombra " abiertos del espacio topológico" (X,T).

Ejemplos

• Sea el conjunto X = {a, b, c} , y T = {{}, {a}, {b}, {a,b}, X}, entonces (X, T) es un espacio topológico.
• Para cualquier conjunto X no vacío , {{}. T} se llama la topología trivial de X.
• La colección de todos los subconjuntos de X, es una topología de X, llamada topología discreta de X.
• En la llamada topología usual de la recta un subconjunto A de números reales es abierto si para todo elemento x de A, existe un intervalo abierto tal que x es elemento de dicho intervalo que queda contenido en el conjunto A.
• Dado el conjunto X= {0,1} la familia de subconjuntos de X, T= {{},{0}, X} se llama la topología de Sierpinski y el par (X,T) se denomina el espacio de Sierpinski.

Bibliografía

• M. Garcia Marrero y otros: Topología general. Editorial Alhambra, Madrid (1975) ISBN 84-205-0557-9 (obra completa)
• James R. Munkres: Topología. Pearspn Prentice Hall, Madrid (2008) ISBN 978-84-205-3180-9