Funciones trigonométricas complejas

Función trigonómetrica compleja Concepto: Familia de funciones trigonométricas ciculares e hiperbólicas y sus opuestas con argumento y/o resultado complejos.

Función trigonométrica compleja. En Matemáticas y más específicamente Análisis Matemático son funciones trigométricas cuyos argumentos (y resultados) son números complejos. La misma se basan en la relación entre las representaciones trigonométrica y exponencial de los números complejos. Es de vital importancia en la formulación de otras funciones complejas como el logaritmo, las funciones exponenciales complejas, y otras; permitiendo la extensión del concepto de trigonometría a ángulos complejos.

Definiciones

Sean los números complejos x=a+bi e y=c+di pueden definirse las siguientes funciones F(x)=y con sus restricciones como funciones trigonométricas complejas en virtud de que sus argumentos y/o resultados son complejos:

Funciones trigonométricas circulares

Las conocidas funciones trigonométricas circulares con argumento real x:

• sen(x)
• cos(x)
• tan(x)
• cot(x)

pueden ser evaluadas sobre los números complejos usando la función exponencial compleja con las expresiones que siguen:

• Archivo:Definición seno exponencial compleja.gif
• Archivo:Definición coseno exponencial compleja.gif
• Archivo:Definición tangente exponencial compleja.gif
• Archivo:Definición cotangente exponencial compleja.gif

Funciones trigonométricas hiperbólicas

Las conocidas funciones trigonométricas circulares con argumento real x:

• sh(x)
• ch(x)
• th(x)
• coth(x)

pueden ser evaluadas sobre los números complejos usando la función exponencial compleja con las expresiones que siguen:

• Archivo:Definición seno hiperbolico exponencial compleja.gif
• Archivo:Definición coseno hiperbolico exponencial compleja.gif
• Archivo:Definición tangente hiperbolico exponencial compleja.gif
• Archivo:Definición cotangente hiperbolico exponencial compleja.gif

Importancia

La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1. La trigonometría compleja no solo extiende el alcance de las relaciones trigonométricas tradicionales, sino que le aporta una mayor significación en el cálculo.

Veáse también

• Números complejos.
• Ley de Euler.
• Función exponencial compleja.
• Logaritmo complejo.

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
• [1]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.
• [2]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de [2014]].
• [3]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.