Bifurcación silla-nodo
Bifurcación silla-nodo
En matemática, una bifurcación silla-nodo (o tangente, o en inglés “saddle-node”, "tangent, o "fold") es una bifurcación local o global en la que dos puntos fijos (o equilibrios, o críticos) de un sistema dinámico chocan y se aniquilan entre ellos mismo. La frase “bifurcación silla-nodo” se utiliza con frecuencia en referencia a sistemas dinámicos continuos. En los sistemas discretos, la misma bifurcación tiene el nombre (“bifurcación de fold”).
Cuando la bifurcación es global (no local), va por el nombre bifurcación de cielo azul en referencia a la creación de dos puntos fijos.[1]
Bifurcaciones silla-nodo son asociados con ciclos de histéresis y catástrofes. Si el espacio de fase es unidimensional, uno de los puntos de equilibrio es inestable (la silla), mientras que la otra es estable (el nodo).
Definición
Si la ecuación diferencial ordinaria dx/dt = f(x, C), descrita por un solo parámetro C de la función f(x, C), con C siendo un miembro o elemento de los números reales (C ∈ R), y f(x, C) es una función a lo cual:
f(0, Co) = 0, y ademas:
df/dx (0, Co) = 0; d2f/dx2 (0, Co) > 0;
df/dc (0, Co) > 0
entonces existe un intervalo entre (C1, 0) y (0, C2) con e>0 donde
1. Si C ∈ (C1, 0), entonces fc(x) tiene 2 puntos fijos en (-e, e) con el positivo siendo no estable y el negativo estable;
2. Si C ∈ (0, C2), entonces fc(x) no tiene puntos fijos en (-e, e). [2]
Forma
La forma normal es:
dx/dt = C ∓ x2
La forma normal de una bifurcación es un sistema dinámico simple que es equivalente a todos los sistemas que muestran esta bifurcación.[3]
Véase también
Referencias
- ↑ Steven Strogatz, "Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering", Perseus Books, 2000.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Fold Bifurcation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FoldBifurcation.html
- ↑ Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983), Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, Section 3.3, ISBN 0-387-90819-6.
