Topología usual del plano

Con el ánimo de presentar ciertas características topológicas de figuras del plano vamos a introducir definiciones pertinentes usuales, mediante el concepto de círculo abierto.

Conjuntos y conceptos básicos

• Consideremos un círculo abierto de centro K, al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a K es menor que el el real positivo r. Es el equivalente a un intervalo abierto simétrico de la recta: <a-d; a+d>.
• Diremos que un conjunto A del plano es abierto, si para cualquiera de sus puntos existe un círculo abierto con centro en dicho punto K y que está contenido en A.
• Diremos que un conjunto F del plano es cerrado si su complemento respecto del plano X es abierto.
• Un punto H es punto interior del conjunto S del plano si hay un círculo abierto C(H; r) con centro en H y radio r, contenido en S, . El conjunto de los puntos interiores de S, se llama interior de S , se denota Int(S).
• Al interior del complemento de S respecto del plano X, se llama exterior de S, denotado Ext (S)
• El punto L es punto frontera del conjunto S, si un círculo abierto C(L; r) con centro en L contiene puntos del interior como del exterior de S. Se llama frontera de S a todos los puntos frontera de S. .
• Por definición el plano, denotado por X y el conjunto vacío Ø son abiertos. Y en consecuencia también son cerrados por ser complementarios.
• Clausura del conjunto A en el plano X es la intersección de todos los cerrados que contienen a A.

Casos de figuras conocidas

Semiplano

Una recta l determina sobre el plano dos conjuntos disjuntos S_1 y S_2, llamados semiplanos. La recta separatriz no se considera parte de ninguno de los semiplanos. En esas condiciones cada semiplano es un conjunto abierto; también su interior coincide con el mismo. El exterior del semiplano S_2 es el semiplano S_2 y viceversa. La clausura de S_1 es la unión de él mismo con la recta l. La frontera de los dos semiplanos S_1 y S_2 es la recta separatriz l.