Ecuaciones resueltas en números enteros

Uno de los temas más complicados de la teoría de números es el hallazgo de las soluciones, en números enteros, de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros y con más de una incógnita. Trabajo abordado por Pitágoras, Diofanto de Alejandría; en la época moderna por Pedro Fermat, Leonardo Euler, José Luis de Lagrange. Un aporte de mucha importancia es el método de sumas trigonométricas- cuyo autor es el matemático soviético, Vinográdov. Cabe decir que solo el caso de ecuaciones en números enteros con dos incógnitas, está totalmente resuelto. Aparte del interés teórico de este tema se presentan ecuaciones de este tipo en los predios de la física.

Ecuación con una incógnita

De primer grado

Sea la ecuación mt + n = 0, donde m y n son números enteros. La solución de la ecuación es

t = -n/m, este cociente será un número entero sólo en el caso de que n sea un múltiplo de m. Por ejemplo para el caso

7t + 56 = 0, da como solución t = -8.

De grado superior al primero

Sea la ecuación cuadrática 4t ² -3t-1 = 0, tiene las raíces t = 1 ( solución entera) y t = -1/4, solución fraccionaria.

La ecuación (t -1) ² = tiene como raíces los números irracionales: t = 1 ± (5)^{1/ 2} . Obviamente ninguna raíz entera.

Sea la ecuación b _m t ^m +b _m-1 t ^{m -1}+...+ b ₁ t + b ₀ = 0. (m ≥ 2).

Se asume t = r una raiz entera de esta ecuación, si es así, cabe:

b _m r ^m +b _m-1 r ^{m -1}+...+ b ₁ r + b ₀ = 0, los términos anteriores a b ₀ son divisibles por r, y para que toda la expresión resulte un número entero, se precisa que b₀ / r sea entero , esto es que b ₀ sea múltiplo de r.

Por lo que , en la práctica, bastaría buscar los submúltiplos enteros de b₀, y analizar, mediante división sintética cuáles dan resto cero, justamente los que son las raíces enteras de la ecuación propuesta.

Hallar las raíces enteras de la ecuación 5t ³ -4t ² - 31t - 6 = 0. En el presente caso tenemos como raíces enteras potenciales: ±1, ±2, ±3, ±6. Resulando las raíces enteras: -2 y 3.