Conjunto conexo en la recta real

En la topología general uno de los conceptos más importantes es el de conjunto conexo, que nos es sino la formalización de la idea intuitiva de que una figura o conjunto, en consideración, es de una sola pieza.

En cierto modo la topología, como disciplina matemática, es el estudio de las propiedades o invariantes topológicas; entre estas: conexidad, compacidad, interior, adherencia, vecindad, etc. Con un concepto, en cierto modo elemental, se va a definir qué es un conjunto conexo en la recta real, sin necesidad de utilizar la idea de conjunto abierto o de separación.

Conjunto conexo

Una figura conexa la concebimos sin fragmentación. De una sola pieza. ¿Pero cómo es conjunto conexo en la recta?

Definición

Un conjunto K, subconjunto de la recta ( o de los números reales) es un conjunto conexo si el intervalo cerrado formado por cualquiera de dos de sus puntos también es parte del conjunto K.

K es un conjunto conexo en R s.s.s. a,b ε K, implica [a;b] es parte de K.

Ejemplos

Cualquier tipo de intervalo es un conjunto conexo. También lo son:

1. I =<a;b> pues si m y n son puntos de I, con m<n, se cumple que a<m<n<b y todo punto x que está en [m;n] está también en I; por lo tanto [m;n] es subconjunto de I.
2. J = <a,b], pues para [c;b], con a<c<b, se tiene que [c;b] es parte de J.
3. H = [a;b], como a y b están en H, se verifica que [a;b] es parte de [a;b]

No es conjunto conexo el conjunto A=[1; 6]\{3} pues el intervalo cerrado [2; 4] no es parte de [1;6], a pesar de que 2 y 4 están en [1,6]. Pues; A no constituye, geométricamente, una sola pieza.

Definición alternativa

Sea (R, T) el espacio topológico usual de R. Se dice que un subconjunto L de R es conexo en (R,T) si para todo par de subconjuntos abiertos C y D de (R,T), tales que L es parte de C unión D, además L, C y D no tienen elementos comunes, se infiere que L con C o L con D no tienen puntos comunes.

Proposición

Un conjunto L de números reales es conjunto conexo de R si, y solamente si, es un intervalo.

Fuente

• Munkres: Topología
• Horvath: Introducción a la topología general

Temas concomitantes

• Conexidad
• Intervalo en R
• Número real