Fórmula de Bernoulli ( Probabilidad)

Aceptamos que se realizan n experimentos independientes, en cada uno de ellos el suceso H puede ocurrir como también no puede ocurrir, La probabilidad del suceso H, en cada expeimento, es constante e igual a b. La probabilidad de k sucesos H en los n experimentos - al margen del orden que ocurran - se puede obtener mediante la fórmula de Bernoulli

Expresión de la fórmula

P_n(k) = C_n,kb^kc^n-k

Lectura

• En esta fórmula b es la probabilidad del suceso H en un experimento;
• c = 1-b es la probabilidad de que no ocurra el el suceso H en un experimento;
• n es el número de todos los experimentos efectuados;
• k el el número de experimentos en los que apareció el suceso H;
• P_n(k) es la probabilidad de k sucesos H en los n experimentos.

Problema

la probabilidad de lograr un premio de lotería poseyendo un billete es 1/8, ¿Cuál es la probabilidad de que entre 8 billetes:

i) dos sean ganadores

ii) cuatro sean ganadores?

Resolución

cada experimento estriba en comprobar si un billete resultó ganador. En cada experimento puede ocurrir el suceso H o no puede presentarse, el suceso definido así:

H = {el billete chequeado es ganador}

• El número total de experimentos es n = 8. Los experimentos son independientes , ya que el suceso H en cada experimento previo no altera su probabilidad en los posteriores experimentos. La probabilidad del suceso H en cada uno de los siete experimentos es b = 1/8. la probabilidad que que no ocurra el expeimento H en cada experimento es c= 1-b= 1-1/8 = 7/8.

a) consideremos el suceso:

D = { dos billetes salen ganadores}

el número de experimentos en los que se espera el experimento H es k = 2.

la probabilidad P(D) = P_n(k) se calcula con la fórmula de bBernoulli:

P_n(k) = C_8,2b²c⁶ = 8!/2!· 6!(1/8)² · (7/8)⁶ = 0.19635

b) consideremos el suceso:

Q = { cuatro billetes salen ganadores}

el número de experimentos en los que se confía en el experimento H es k = 2.

la probabilidad P(Q) = P_n(k) se calcula con la fórmula de bernoulli:

P_n(k) = C_8,4b⁴c⁴ = 8!/4!· 4!(1/8)⁴ · (7/8)⁴ = 0.0100178

Fuente

• Barry R. James: Probabilidad Un curso de nivel intermedio, IMCA, Lima 2004

Véase además

• Combinación
• suceso aleatorio
• experimento aleatorio
• sucesos independientes