Grupo de teoremas de Pitágoras

Grupo de teoremas de Pitágoras Concepto: Un teorema es una proposición que puede ser demostrada de forma lógica partiendo de un axioma o de otros teoremas ya demostrados. Es necesario seguir ciertas reglas de inferencia para lograr dicha demostración. El teorema es, por lo tanto, una afirmación de importancia.

Grupo de teoremas de Pitágoras. Para establecer relaciones en el triángulo rectángulo es necesario conocer un grupo de teoremas de gran importancia. La deducción de estas relaciones se logra a partir de la semejanza de triángulos.

Aplicaciones

Existe un grupo de relaciones que se cumplen sólo en los triángulos rectángulos, los cuales tienen mucho que ver de alguna manera con la altura relativa a la hipotenusa. Estas nos ayudarán a resolver ejercicios de semejanza de triángulos.

Teorema de las alturas

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la altura determina sobre la hipotenusa.

Demostración

Si en el triángulo rectángulo ABC, donde ángulo C = 90º, se traza la altura relativa a la hipotenusa, se obtienen dos triángulos semejantes al ∆ ABC que son los ∆ ACD y ∆ BCD. (p y q son los segmentos que determina la altura sobre la hipotenusa).

Efectivamente:

Por lo tanto: Δ ABC ~ Δ ACD ~ Δ BCD por carácter transitivo.

Lados homólogos en estos triángulos:

Entre los lados homólogos de estos tres triángulos semejantes, podemos establecer algunas proporciones y de ellas, deducir estos teoremas que tienen lugar en triángulos rectágulos cualesquiera.

Teorema de los catetos

Según el teorema de las alturas se cumple que: h² = p · q. Esta igualdad la obtenemos de la siguiente forma:

En el Δ ACD ~ Δ BCD se cumple que:

De los dos segmentos que la altura determina sobre la hipotenusa, el correspondiente a un cateto determinado es el que tiene con él un extremo común.

    En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de 
      cada cateto es igual al producto de la longitud de la 
      hipotenusa por la longitud del segmento de hipotenusa 
                  correspondiente al cateto.

Teorema de Pitágoras

También, según el teorema de las alturas, se cumple que: b² = c · q y a² = c · p

Efectivamente, de Δ ACD ~ Δ ABC tenemos que:

De Δ BCD ~ Δ ABC tenemos que:

     En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de 
      las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de 
                  la longitud de la hipotenusa.

Recíproco del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es muy utilizado, si con él aplicamos el teorema de los catetos, deduciremos su recíproco de la siguiente forma:

   b² = c · q
                        Teorema de los catetos
   a² = c · p

Sumando miembro a miembro estas igualdades, obtenemos:

a² + b² = c · p + c · q

a² + b² = c (p + q) (1) aplicando la propiedad distributiva.

Pero c = p + q (2) por suma de segmentos.

Y sustituyendo (2) en (1) tenemos que:

    Si para los lados a, b y c de un triángulo se cumple que 
      a² + b² = c² , entonces el triángulo es  rectángulo 
                 y su hipotenusa es c.

Fuente

• Libro de texto de Matemática 9vo grado. Editorial Pueblo y Educación, 1991.