Relación binaria

Relación binaria Concepto: Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama relación binaria a cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB.

Relación binaria. Dícese en Matemática Discreta y Lógica de toda relación R que se establece entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y B y que se define mediante un conjunto de pares <x,y>, válidos para la propia relación con e y que indica.

Definición.

Una relación binara R sobre A y B, conjuntos no vacíos, indicada como R_A,B, es un subconjunto de AxB. Formalmente hablando sería . Entonces, R_A,B es un conjunto de pares <x,y> con e .

A los conjuntos A y B se les conoce como conjunto de partida y conjunto de llegada. Al conjunto de elementos de A que aparecen en la relación se llama dominio y se representa Dom(R) . Al conjunto de elementos de B que aparecen en la relación se llama imagen y se representa Im(R) .

Evidentemente, también puede darse el caso A=B, donde la relación toma la forma . E

Las siguientes notaciones son válidas xRy, R(x,y), , Rxy(notación polaca) y se leen x relacionado con y según R.

Ejemplos.

1. A={0, 1, 2, 3}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5}, R_A,B={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <0,4>, <0,5>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>, <2,3>, <2,4>, <2,5>, <3,4>, <3,5>}.
2. A={0, 1, 2, 3}, , R_A,B={<0,{}>, <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>, <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>, <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>}.
3. A={0,1,2,3}, R_A²=A²={<0, 0>, <0, 1>, <0, 2>, <0, 3>, <1, 0>, <1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 0>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.
4. A={0,1,2,3}, R_A²=A²={<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}.
5. Sea C los siguientes cuerpos del Sistema Solar Interior: C={Sol, Mercurio, Venus, Tierra, Luna, Marte, Fobos, Deimos}, se define la relación x gira alrededor de y como G={<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}.

Representación.

Las relaciones binarias pueden representarse de manera explícita como vimos en los ejemplos anteriores o de forma implícita en tanto también son conjuntos. No obstante existen otras formas de representarlas que ayudan a visualizar de modo más fácil algunas propiedades que pueden caracterorarlas. Entre las más notables están la representación tabular y la del dígrafo asociado, por lo que en el último caso puede llegar a obtenerse un esquema gráfico de las relaciones.

Representación tabular.

La representación tabular o matricial de las relaciones binarias es simple y sigue la siguiente estructura.

Sea R una relación binaria sobre A y B:

• Se hace una tabla de n+1 filas por m+1 columnas, donde n es la cantidad de elementos de A y m, la de B.
• En la celda superior izquierda se rotula el nombre de la relación R o un símbolo.
• Se etiquetan y asocian los nombres de cada fila, a partir de la segunda, con cada elemento de A.
• Se etiquetan y asocian los nombres de cada columna, a partir de la segunda, con cada elemento de B.
• Para cada celda de la fila i, columna j: si iRj, se indica 1; de lo contrario, 0.

Dígrafo asociado.

Sea R una relación binaria sobre A y B, se entiende por dígrafo asociado a R , al grafo orientado G=<A U B, R>; es decir, cuyos vértices serán los elementos de A y B y sus arcos, los pares pertenecientes a la relación en cuestión.

Ejemplos.

Para el ejemplo 1, su representación tabular es:

R	0	1	2	3	4	5
0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1
2	0	0	0	1	1	1
3	0	0	0	0	1	1

El dígrafo asociado:

• G = <{0,0',1,1',2,2',3,3',4',5'}, {<0,1'>, <0,2'>, <0,3'>, <0,4'>, <0,5'>, <1,2'>, <1,3'>, <1,4'>, <1,5'>, <2,3'>, <2,4'>, <2,5'>, <3,4'>, <3,5'>}>.

Y su representación gráfica:

Nótese que a los elementos del conjunto B se les agregó un apóstrofo para distinguirlos de los que son iguales en el A.

Ejemplo 2:

R	{}	{0}	{1}	{2}	{3}	{0,1}	{0,2}	{0,3}	{1,2}	{1,3}	{2,3}	{0,1,2}	{0,1,3}	{0,2,3}	{1,2,3}	{0,1,2,3}
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0

El dígrafo asociado:

• G = <{0, 1, 2, 3, {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {0,1,2}, {0,1,3}, {0,2,3}, {1,2,3}, {0,1,2,3}}, {<0,{}>, <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>, <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <2,{1,2}>, <2,{1,3}>, <2,{2,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>, <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>}>.

Y su representación gráfica:

Ejemplo 3:

R	0	1	2	3
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	1	1	1	1
3	1	1	1	1

Cuyo dígrafo asociado sería:

• G=<{0,1,2,3}, {<0, 0>, <0, 1>, <0, 2>, <0, 3>, <1, 0>, <1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 0>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}>

para un posible aspector visual:

• 

Ejemplo 4:

R	0	1	2	3
0	1	0	0	0
1	0	1	0	0
2	0	0	1	0
3	0	0	0	1

El dígrafo asociado:

• G=<{0,1,2,3}, {<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}>

para verse:

• 

Ejemplo 5:

R	Sol	Mercurio	Venus	Tierra	Luna	Marte	Fobos	Deimos
Sol	0	0	0	0	0	0	0	0
Mercurio	1	0	0	0	0	0	0	0
Venus	1	0	0	0	0	0	0	0
Tierra	1	0	0	0	0	0	0	0
Luna	0	0	0	1	0	0	0	0
Marte	1	0	0	0	0	0	0	0
Fobos	0	0	0	0	0	1	0	0
Deimos	0	0	0	0	0	1	0	0

Cuyo dígrafo asociado se enuncia:

• G=<{Sol, Mercurio, Venus, Tierra, Luna, Marte, Fobos, Deimos}, {<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}>

que tiene el siguiente aspecto:

• 

Fuentes.

1. García, Luciano. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. La Habana, 1988. Capítulo 2.
2. Relación binaria en Wikipedia.