Ecuación diferencial ordinaria exacta

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden conforman una familia cuyos miembros toman nombres específicos, entre ellos: ecuaciones ordinarias de variables separadas, de variables separables, homogéneas, exactas.

Definición

Sea la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

g(t,y)dt+ h(t,y) dy =0 (1)

si existe una función de dos variables f(t,y) de modo que

D_tf = g(t,y) también D_yf = h(t,y) (2)

se dice que (1) es una ecuación diferencial exacta. Asumiendo que se cumpla la condición (2), la ecuación propuesta adopta la expresión siguiente:

D_tf .dx +D_yf.dy = 0 (3), puesto que expresa la diferencial total de una función de dos variables, resulta:

f(t,y) = C (4)

Es decir que (4) es la solución general de la ecuación diferencial propuesta (1); razón por la que para resolver esta ecuación diferencial es necesario y suficiente encontrar una función f(t,y) que verifique la condición (2).

Reconocimiento y resolución

Sin embargo, de modo más efectivo se puede saber si se está ante el caso de una ecuación diferencial exacta; según (2) , en el supuesto de que la función f(t,y) sea continua, caben las igualdades:

D_yg=D_yxf = D_xyf = D_th (5), de tal modo que se cumple:

D_yg = D_th. (5), por otra parte si la exigencia (5) se cumple, existe una función f(t,y) que satisface la condición (2).

Integrando la primera ecuación de (2) se obtiene

f(t,y) = integral indefinida de g(t,y) + j(y) (6), siendo j(y) una constante arbitraria de integración y puede contener la variable y, puesto que la integración se realiza con respecto a t. Para encontrar la función j(y) se halla la derivada parcial de con respecto a y que va a contener j´(y); la que se iguala a h(t,y) y luego se halla la integral indefinida de j´(y).

Presentación de un caso

Sea la (2ty+y²)dt + ( 2ty+t²)dy, donde

g(t,y) = 2ty+y², también h(t,y) = 2ty+t², luego

g_y = 2x +2y; h_t= 2y +2t, que son iguales, por tanto es un caso de ecuación diferencial exacta.

Integrando g(t,y) con respecto a t, resulta f(t,y) = t² +ty² + j(y).

Derivando parcialmente el resultado anterior que da f, respecto a y se tiene D_yf= t²+2ty + j´(y). Igualando este resultado con h(t,y), se tiene:

t²+2ty + j´(y) = 2ty +t². Cancelando términos iguales resulta:

j´(y) = 0, o bien j(y) = C que es una constante arbitraria de integración. Luego la solución general es

f(t,y) = t²y + ty² + C.

Bibliografía

• A.G. Tsipkin. Manual de matemáticas para la enseñanza media. Editorial Mir, Moscú, 1985.