Cuaternio

Los cuaternios o cuaterniones son una generalización de los números complejos de R2 a R4. Es un sistema multiplicativo no conmutativo.

Definición

Sea el conjunto R×R×R×R = T. Es un grupo bajo la adición por componentes el conjunto T; para lo cual fijemos 1 = (1, 0,0,0); i = (0, 1,0,0); j = (0, 0,1,0); k = (0, 0,0,1). Además se conviene que

a = = (a, 0,0,0), b = (0, b,0,0); b = (0, 0,c,0); d= (0, 0,0,d), la suma en este caso resulta:

Operaciones

Suma

(a, b, c, d ) = a + bi + cj + dk

a + b+ c+ d = a + bi + cj + dk; de modo que

(a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) = (a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k

Multiplicación

Definiciones previas

1x = x1 = x para todo a que está en T.

i×i = j×j = k×k = -1

i×j = k; j×k =; k×i = j ( en sentido horario)

j×i = -k; k×j = -i ; i×k = -j ( conmutando cada producto anterior);

Producto de dos cuaterniones

(a, b, c, d )× (e,f,g,h) = (ae-bf-cg -dh; af+be+ch-dg, ag-bh+ce+db, ah+bg-cf+de).

La multiplicación no es conmutativa; sin embargo es asocitaiva

Distributivas:

1. x×(y+z) = xy +xz ;
2. (x+y)×z = xz+yz.

Conjugado y módulo

Sea x = (a, b, c, d) entonces x* = (a-b-c-d), es el conjugado de x , elemento de T.

|x|² = a² + b² + c² + d² que es la norma y el cuadrado de su módulo; por tanto

|x| = (a² + b² + c² + d² )^1/2, es el módulo.

Se puede definir el inverso multiplicativo por la derecha de x:

x¹ = x*/ |x|² = a/ |x|² -i b/ |x|² - jc/ |x|²- kd |x|²

Proposiciones

1. Los cuaternios T constituyen un semicampo bajo la adición y la multiplicación.
2. Los cuaternios con la adición ( siendo grupo abeliano) y la multiplicación por un escalar (número real) constituyen un R- espacio lineal.

Fuentes

• John B. Fraleigh: Álgebra abstracta, Addison-Wesleley Iberoamerica, Wilmington, Delaware, EUA, 1982
• L. S. Pontriaguin: Generalización del concepto de número, Editorial URSS, Moscú

Temas vinculados

• Vectores (Espacio lineal)