Desigualdad matemática

Las desigualdades son relaciones que permiten comparar dos números reales diferentes para lo cual establecemos una relación inicial (si son iguales lo que se tiene es una igualdad).

Axiomática de orden

Vamos a definir con un enfoque axiomático la relación igual o menor que en el conjunto de todos los números reales

1. Para cualesquiera dos números reales a y b se cumple sólo una de las siguientes relaciones: a ≤ b o bien b ≤ a (Ley de dicotomía)
2. a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c (Ley de la transitividad)
3. si a ≤ b , entonces, a + c ≤ b + c, para cualquier real c.
4. si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc

Definiciones de otras desigualdades

Igual o mayor que

Sean a y b dos números reales, diremos que a es igual o mayor que ( se denota a ≥ b) si b ≤ a.

Menor que

Sean a y b dos números reales ay b diremos que a es menor que b ( denótase a < b) si a ≤ b, pero no se cumple a = b

Mayor que

Dados dos números reales a y b, diremos que a es mayor que b ( denotado: a a > b) si b < a.

Diferente de

Diremos que el real a es diferente del real b ( denotado a ≠ b) si no se cumple la afirmación a = b.

Comparando con el cero

Real positivo

Un número real p es positivo si p > 0

Real negativo

un número real n es negativo si n < 0

no positivo

El número real r es no positivo si r ≤ 0

No negativo

El número real s en no negativo si s ≥ 0

Sentidos

Sentido contrario

Se dice que las desigualdades a < b y c > d tienen sentido contrario, lo mismo que a ≤ b y c ≥d

Mismo sentido

Diremos que a<b y c < d ( e < f y g < h; i ≤j k ≤l; m≥n p ≥q) tienen el mismo sentido .

Tipos

Desigualdades amplias

Son las de esta forma a ≤ b o bien b ≥ a

Desigualdades estrictas

Asumen cualquiera de estas formas a < b o bien b > a

Aplicaciones

• Las desigualdades se usan para definir los diferentes tipos de intervalos y bolas o discos en R ⁿ
• Se usan para formular las distintas inecuaciones sean algebraicas ( polinomiales o racionales) o trascendentes ( exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) e inecuaciones no elementales con valor absoluto , mayor entero, etc.
• Para una definición de valor absoluto
• Para determinar el conjunto solución de una inecuación determinada
• Para definir los extremos de una función real de variable real si existen
• Expresar ciertas fórmulas de amplia validez

Fuentes

• G. N. Yakovliev (director) Álgebra y principios de análisis, Editorlal Mir Moscú (1984)
• P. P. Korovkin: Desigualdades Editorial Mir, Moscú (1976)

Enlaces externos

Inecuación cuadrática: Enciclopedia Libre Universal en Español