Módulo ( matemática)

Un R-módulo en el álgebra abstracta es la generalización del concepto de espacio lineal. Para ello vinculamos un grupo abeliano con un anillo. Es un sistema algebraico en el que intervienen sendas adiciones en el grupo y en anillo; el producto de sendos elementos del grupo y del anillo, con el resultado en el grupo. Además hay dos distributividades.

Definición

Se dice que u un R-módulo izquierdo sobre el anillo R consiste en un grupo abeliano (M, +) y una operación en R × M → M (multiplicación escalar, normalmente denotada sólo por yuxtaposición, es decir con rx para r en R y x en M) tal que

Para todo m, n en R, x, y en M, tenemos

1. (mn)x = m(nx): actúan los dos productos.
2. (m+n)x = mx+nx: primer miembro suma en R; segundo miembro, suma en M
3. m(x+y) = mx+my: primer miembro suma en el grupo; en el segundo miembro suma de múltiplos en M.
4. 1x = x

Generalmente, escribimos simplemente "un R - módulo izquierdo M" o _RM.

Un R módulo derecho M o M_R se define análogamente, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir tenemos una multiplicación escalar de la forma M × R → M, y los tres axiomas precitados se escriben con los escalares r y s a la derecha de x y y.

Si el anillo R es conmutativo, entonces los R-módulo a izquieda coincide con R-módulo a la derecha y se los denomina únicamente R-módulos.

Ejemplificando:

• Si H es un cuerpo, entonces los conceptos "H-espacio vectorial" y H-módulo son idénticos.

• Cualquier grupo abeliano G es un módulo sobre el anillo de los números enteros Z si definimos mx = x + x +... + x (m sumandos) para n > 0, 0 x = 0, y (- m) x = - (mx) para nm' < 0.

• Si R es cualquier anillo y n un número natural, entonces el producto cartesiano Rⁿ es un módulo izquierdo y derecho sobre R si utilizamos las operaciones componente a componente. El caso n = 0 da el trivial R-módulo {0} que consiste solamente en el elemento identidad (aditiva).

• Si X es una variedad diferenciable, entonces las funciones diferenciables de X a los números reales forman un anillo R. El conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables definidos en X forman un módulo sobre R, y lo mismo con los campos tensoriales y las formas diferenciales en X.

• Las matrices cuadradas n-por-n con entradas reales forman un anillo R, y el espacio euclidiano R ⁿ es un módulo izquierdo sobre este anillo si definimos la operación de módulo via la multiplicación de matrices.

• Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R, entonces I es un módulo izquierdo sobre R. Análogamente, por supuesto, los ideales derechos son módulos derechos.

Submódulos y homomorfismos

Suponga que M es un R-módulo izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o R-submódulo, para ser más explícito) si, para cualquier n en N y cualquier r en R, el producto rn está en N (o el nr para un módulo derecho). Si M y N son R - módulos, entonces una función f: M → N es un homomorfismo de R - módulos si, para cualquier m, n en M y r, s en R,

f (rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es precisamente una función que preserva la estructura de los objetos. Un homomorfismo biyectivo de módulos es un isomorfismo de módulos, y los dos módulos se llaman isomorfos. Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciandose solamente en la notación para sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulos f: M → N es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por f. Los teoremas de isomorfismo familiares de grupos abelianos y de espacios vectoriales son también válidos para R-módulos.

Los R-módulos izquierdos, junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría, escrita como _RMod. Esta es una categoría abeliana.

Tipos de R-módulos

Finitamente generado. Un módulo M es finitamente generado si existen finitamente muchos elementos x₁..., x_n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo escalar R.

Libre. Un módulo libre es un módulo que tiene una base, o equivalente, una que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo escalar R. Éstos son los módulos que se comportan parecido a los espacios vectoriales.

Proyectivo. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedads deseables.

Inyectivo. Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.

Simple. Un módulo simple S es un módulo que no es {0} y que sus únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se llaman irreducibles.

Indescomponible. Un módulo indescomponible es un módulo diferente a cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple es indescomponible.

Fiel. Un módulo fiel M es uno donde la acción de cada r en R da una función inyectiva M → M. Equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero.

Noetheriano. Un módulo noetheriano es un módulo tal que cada submódulo es finitamente generado. Equivalente, cada cadena creciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

Artiniano. Un módulo artiniano es un módulo en el cual cada cadena decreciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

Definición alternativa como representaciones

Si M es un R-módulo izquierdo, entonces la acción de un elemento r en R se define como la función M → M que envía cada x al rx (o al xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +). El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M es denotado End_Z(M) y forma un anillo bajo la adición y composición, y enviando un elemento r del anillo R a su acción define realmente un homomorfismo de anillo de R a End_Z(M).

Tal del homorfismo R del anillo → End_Z(M) se llama una representación de R en el grupo abeliano M; una manera alternativa y equivalente de definir R-módulos izquierdos es decir que un R-módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R en el.

Una representación se llama fiel si y solamente si la función R → End_Z(M) es inyectiva. En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M, entonces r = 0. Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre una cierta aritmética modular Z/n Z.

Generalizaciones

Cualquier anillo R se puede ver como categoría preaditiva con un solo objeto. Con esta comprensión, un R-módulo izquierdo es un funtor aditivo (covariante) de R a la categoría Ab grupos abelianos. Los R-módulos derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab sea considerado un módulo izquierdo generalizado sobre C; estos funtores forman una categoría de funtores C-Mod que es la generalización natural de la categoría de módulos R-Mod.

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección distinta: tome un espacio anillado (X, O_X) y considere los haces de O_X-módulos. Éstos forman una categoría O_X-Mod. Si X tiene solamente un punto, entonces esto es una categoría de módulo en el viejo sentido sobre el anillo conmutativo O_X(X).

Fuente bibliográfica

• F.W. Anderson y K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2da Ed., Springer-Verlag, Nueva York, 1992

• Herstein. "Álgebra moderna".