Matriz diagonal

Matriz diagonal Concepto: Matriz cuadrada cuyos elementos son cero a excepción de los de la diagonal principal.

Matriz diagonal. Dícese de la matriz cuadrada de orden N cuyos elementos excepto al menos uno de la diagonal principal son cero.

Un caso particular de la matriz diagonal de orden N es la matriz identidad.

Es de gran utilidad en las aplicaciones lineales pues reducen notablemente el cálculo a una simple multiplicación directa.

Definición

Sea A una matriz cuadrada de orden N, se dice que es una matriz diagonal si todos sus elementos satisfacen que:

• Para i=1..N e j=1..N tal que a_i,j=0.
• Existe i=1..N tal que a_i,i≠0

Es decir a excepción de al menos uno en la diagonal principal todos sus elementos son nulos.

Esto convierte en particularidad el caso de que todos los elementos de la diagonal principal sean no nulos y en especial, el caso cuando todos los elementos de la diagonal principal son 1 la matriz diagonal es también la matriz identidad de orden N I_N.

Propiedades

Sea una matriz diagonal A de orden N se cumple entonces:

• A=I_N si.
  • Para i=1..N e j=1..N tal que a_i,j=0.
  • Para todo i=1..N tal que a_i,i=1
• |A|=a_1,1a_2,2...a_n,n
• Una matriz cuadrada de orden N es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene N vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable.
• Si existe el producto matricial C=AB con B de NxM los elementos de C serán de la forma c_i,j=a_i,ib_i,j para i=1..N e j=1..M.

Véase también

• Matriz cuadrada
• Matriz identidad

Fuentes

• Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. 2003.
• K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir Moscú. 1988.