Diferencia entre revisiones de «Matriz inversa»
m (→Solución de sistemas de ecuaciones líneales mediante la inversa) |
(→Métodos de obtención de matrices inversas) |
||
| Línea 30: | Línea 30: | ||
*Sea ''A<sup>+</sup>'' la [[matriz adjunta]] de ''A'', ''A<sup>-1</sup>=A<sup>+</sup>/|A|''. | *Sea ''A<sup>+</sup>'' la [[matriz adjunta]] de ''A'', ''A<sup>-1</sup>=A<sup>+</sup>/|A|''. | ||
| − | Método de Jordan: | + | Método de [[Eliminación de Gauss-Jordan]]: |
*A partir de se crea la [[matriz extendida]] ''(A|I)'' y mediante transformaciones elementales en cada fila, si ''A'' es inversible, se obtiene ''(I|A<sup>-1</sup>)''. | *A partir de se crea la [[matriz extendida]] ''(A|I)'' y mediante transformaciones elementales en cada fila, si ''A'' es inversible, se obtiene ''(I|A<sup>-1</sup>)''. | ||
Revisión del 18:44 4 dic 2016
| ||||||
Matriz inversa. Dícese de la Matriz cuadrada A-1 de orden N que dada, A una matriz cuadrada no singular del mismo orden, satisface AA-1=A-1A=IN.
Sumario
Definiciones.
Dada la matriz cuadrada A de orden N se dice que es una matriz inversible si y sólo si el determinante de A no es nulo.
Si A es una matriz inversible, se dice que la matriz cuadrada A-1 de orden N es la matriz inversa de A tal que AA-1=A-1A=IN.
Propiedades.
Relativas a la inversibilidad:
- Una matriz cuadrada A es inversible si existe otra matriz cuadrada B tal que AB=BA=I.
- Una matriz es inversible ssi:
- Es cuadrada.
- Es no singular.
- Si una matriz A de orden n es inversible, entonces su rango también es n.
- La matriz inversa si existe es única.
- (AB)-1=A-1B-1
- (AT)-1=(A-1)T
- (A-1)-1=A
- I-1=I
Métodos de obtención de matrices inversas
Mediante el determinante y la matriz adjunta:
- Sea A+ la matriz adjunta de A, A-1=A+/|A|.
Método de Eliminación de Gauss-Jordan:
- A partir de se crea la matriz extendida (A|I) y mediante transformaciones elementales en cada fila, si A es inversible, se obtiene (I|A-1).
Solución de sistemas de ecuaciones líneales mediante la inversa
Sea la matriz A no singular y el sistema de ecuaciones lineales representado en la ecuación matricial:
- AX=B
Se puede multiplicar delante de ambos lados de la ecuación por A-1:
- A-1AX=A-1B => I.X=A-1B
de donde:
- X=A-1B
que muestra otra manera de determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible.
Ejemplos.
La matriz:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
no tiene inversa porque su determinante es 0, es decir es una matriz singular.
En cambio la matriz A:
| 1 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 6 | 8 |
cumple |A|=-2, es no singular y por ende es inversible. A-1 es:
| -1 | -1 | 1 |
| -0,5 | 3,5 | -2 |
| 1 | -2 | 1 |
Véase también
Fuentes
- Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Varela, La Habana, 2003.
- K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir, Moscú, 1988.
- Matriz invertible en Wikipedia.
