Número complejo
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Números complejos. Conjunto numérico surgido para resolver soluciones de raíces negativas.
Sumario
Definición.
Los números reales, a pesar de su utilidad y universalidad presentan la gran deficiencia de que: no toda función polinómica tiene una raíz real.
Un singular y notable ejemplo es la ecuación de segundo grado x2 + 1=0, de donde se obtiene que x2 = -1. Pero según las reglas del álgebra ningún número positivo o negativo elevado al cuadrado puede dar -1, es decir no existe ningún número x que satisfaga la ecuación del anterior ejemplo.
La insuficiencia antes planteada ha obligado a los matemáticos a inventar un número i, con la propiedad de que i2 + 1 =0, la admisión de este número dentro de la gran familia de los números ha simplificado considerablemente los cálculos algebraicos.
Cada número complejo z puede definido como un par ordenado de reales (a,b) donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Representaciones de números complejos.
Los números complejos tienen varias formas de representación. A saber:
- Representación puntual.
- Representación algebraica.
- Representación trigonométrica.
- Representación exponencial.
Representación puntual.
Se representa el número z como un punto del plano en coordenadas cartesianas (x, y), donde x es la parte real y y el componente imaginario.
Nótese que otras formas de representacion del punto en el plano, como las coordenadas polares no se incluyen en esta forma de representación puntal del número complejo.
Representación algebraica.
El número complejo z se representa por una expresión algebraica x+yi, donde x es la parte real y y el componente imaginario.
Representación trigonométrica.
La representación trigonométrica de un número complejo se basa en la representación de un punto por coordenadas polares (a, b) donde a es la longitud del radio vector hasta el punto en cuestión y b el ángulo respecto a eje de las X.
Luego puede representarse al número complejo z = x + yi como z = a cos(b) + a isen(b) donde las representaciones se relacionan de la siguiente manera:
Representación exponencial.
La Ley de Euler para los complejos plantea la asociación:
que permite establecer un vínculo entre la representación polar y la exponenciación; de ahí que podamos decir que estamos en presencia de un número complejo normalizado en su forma exponencial:
Donde a y b son los que se definieron en el epígrafe anterior (debe acotarse que b es un ángulo en radianes), mientras k es un entero cualquiera debido a la equivalencia angular tras cada vuelta entera. Si se conoce que c=ln(a), entonces tenemos una representación exponencial del complejp z como sigue:
Aritmética de los números complejos
Los números complejos soportan las operaciones aritméticas elementales:
- Adición.
- Sustracción.
- Multiplicación.
- División.
- Potenciación.
Adición
Sean los números complejos z1 y z2, definidos en notación algebraica como:
- z1=x1+y1i
- z2=x2+y2i
la suma de ambos vendrá dada por el resultado:
- z3=z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
Desde el punto de vista de la notación como punto del plano cartesiano, la suma de dos complejos:
(x1,y1)+(x2,y2)
significa un corrimiento a las nuevas coordenadas:
(x1+x2, y1+y2)
Sustracción
Sean los números complejos z1 y z2, definidos en notación algebraica como:
- z1=x1+y1i
- z2=x2+y2i
la resta de ambos vendrá dada por el resultado:
- z3=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).
Multiplicación
Sean los números complejos z1 y z2, definidos en notación algebraica como:
- z1=x1+y1i
- z2=x2+y2i
el producto de ambos vendrá dada por el resultado:
z3=z1z2
=(x1+y1i)(x2+y2i)
=x1x2+ix1y2+ix2y1-y1y2
- z3=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)
División
Para realizar la división entre números complejos primero debe conocerse la conjungada de números complejos.
Conjugada
Sea el número complejo z1:
- z1=x1+y1i
su conjugada viene dado por:
=x1-y1i
y se denota 
.
El producto de un complejo por su conjugada es igual a la suma de los cuadrados de las partes real e imaginarias del número complejo en cuestión:
.
Definición de la operación de división entre números complejos
Sean dos números complejos z1 y z2, la división entre ellos se define por la expresión:
Potenciación
Todo complejo z puede elevarse a un exponente real x aplicando la Ley de Moivre:
que no es sino una aplicación de la potencia a la Ley de Euler:
de manera general, la potencia de un complejo elevado a un real cualquiera en la forma trigonométrica quedaría:
Relación de los complejos con otros conjuntos numéricos.
El conjunto de los números complejos es la supérclase de todos los conjuntos numéricos, pues es la unión de los reales más los imaginarios. De esa forma quedan incluidas todas las operaciones en este conjunto.
Fuentes.
- Michael Spivak. Cálculo infinitesimal.
- P. E. Danko, A. G. Popov y T. YA. Kozhenikova. Matemática superiores en ejercicios y problemas.
