Número real

Número real Concepto: Número racional o iraccional.

Número real. Es todo aquel número racional o bien irraccional.
Cómo conjunto númerico se identifica con el símbolo y es la unión del conjunto de todos los números racionales con el conjunto de todos los números irracionales, siendo un conjunto infinito y no contable. Un número real puede ser representado por un decimal infinito periódico o aperiódico; pero en la práctica social basta, en caso pertinente, una aproximación por un decimal finito.

"La aritmética de los números reales consiste en las relaciones cuantitativas entre magnitudes continuas, estudiándolas en su forma general y haciendo completa abstracción de todas sus propiedades concretas". A. D. Alexandrov.

Representación

La representación de números reales es diversa pues incluye la representación de todos los conjuntos númericos incluidos en él y además es el conjunto de más utilidad para el usuario común pues la mayoría de las operaciones, métodos de cálculo y funciones tradicionales han sido definidas sobre los reales. En la práctica operativa, los resultados se dan en decimales finitos mediante calculadora o por programas en computadora, según los requerimientos de la cuestión planteada.

A continuación se expresan algunas de las representaciones más usadas y el conjunto númerico del que provienen:

• Naturales: La notación de números naturales en base decimal u otras bases.
• Enteros: La forma de expresar los enteros positivos con o sin el signo más o los negativos con o sin el signo menos.
• Fraccionarios: Como fracciones y números mixtos.
• Racionales: Notación decimal (períodica o no) y fracciones y mixtos con signo y notación científica:
• Irracionales: Notación decimal intensiva para irracionales, como resultados de raíces u otras operaciones y algunas constantes conocidas .

En el caso de la representación en la recta numérica es siempre preferible convertir a notación decimal para conocer su posición más exacta:

Propiedades.

es el resultado la unión de con los números irracionales; por lo que contiene también al resto de los conjuntos numéricos conocidos a excepción de los números complejos.

El conjunto de los números reales es un conjunto infinito no contable, esto es, que no se puede establecer una biyección entre el conjunto delos números reales y el conjunto de los enteros positivos, hecho que fue demostrado por Jorge Cantor, el creador de la Aritmética transfinita y de la Teoría de conjuntos; goza de la propiedad de la densidad, debido a que entre cualquiera dos reales distintos hay al menos un real entre ambos. El conjunto de los reales es equipotente con cualquier intervalo finito, en especial con <a; b>

En el conjunto de los números reales se establece la igualdad y las relaciones de orden, lo que permite decir que los números reales conforman un conjunto ordenado compatible con la adición y la multiplicación , en cierto modo. Así mismo se puede efectuar las cuatro operaciones racionales: adición, resta, multiplicación y división, excepto la división por cero. Se puede extraer raíces de índice impar de cualquier número real; lo mismo que las raíces de indice par de números reales no negativos. Se calcula el logaritmo, base cualquiera, de un número real positivo. Con los números reales se resuelve cualquier problema de medida, sea de longitud, área o volumen. Convencionalmente, definen la potencia cero de un real no nulo; sin embargo el limite cuando la base y el exponente se acercan a cero es 1; todos los irracionales son casos de límites, se podría aceptar que es posible , ver en el límite, que cero a la cero es 1. Algo parecido al quinto postulado de Euclides.

Al igual que los racionales constituyen un cuerpo algebraico infinito sobre la adición y la multiplicación. El neutro de la suma es el 0. El opuesto de x será -x. El elemento neutro de la multiplicación es el 1. El inverso multiplicativo de todo real x, no nulo, se denota mediante x^-1 o lo que es lo mismo .

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
2. K. Ríbnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial MIR, Moscú. 1987.
3. Raúl Rodríguez Macías y coautoroes: Cálculo diferencial e integral Primera parte. Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana (1988)
4. Seymour Lipschutz: Teoría de conjuntos y temas afines.
5. Tsipkin: Manual de matemáticas para enseñanza media. Editorial Mir, Moscú (1985), impreso en La URSS