Número trece

Número trece Concepto: Proveniente del latín tredecim, representado en notación decimal como 13, es un número natural.

El número trece, representado en numeración decimal como 13, es un número natural que sigue al 12 y precede al 14 en la sucesión de los números naturales.

Teoría de números

• Es un número primo, es el segundo número primo escrito con dos dígitos.
• Es un primo de la forma 4n + 1.
• Asume la estructura 2² + 3²
• Por ser suma de dos cuadrados perfectos se puede factorizar como:
  • 13 = (2 + 3i)×(2 - 3i)
  • 13 = (3 + 2i)×(3 - 2i) por lo tanto no es primo gaussiano.
• Son primos gemelos con 11
• Es el séptimo término de la sucesión de Fibonacci
• Como diferencia de cuadrados: 7² - 6² = 49-36 = 13
• Con 31 forman dos capicúas: 1331 y 3113

Algebra abstracta

• El conjunto K = {0, 1, ..., 12} de los restos de división módulo 13, con la adición de restos es un grupo, con elemento neutro 0; 1 y 12, 2 y 11, 3 y 10, 4 y 9, 5 y 8, 6 y 7 son opuestos.

• El conjunto K₀ = K - {0} los restos de división módulo 13, sin el 0, con la multiplicación forman un grupo, sin divisores de cero; por ello también K es un anillo.
• Finalmente por ser 13 un primo, K₀ es un cuerpo.

Divisibilidad

• Por 13: Regla parecida a la de 7
• Sea N=10a+b, a es cantidad de decenas y b las unidades. Si a+4b = h, es múltiplo de 13, N es múltiplo de 13. Ejemplo: 237588 aislamos 8, enseguida 23758+4×8 = 23790 → 2379+0×4 =2379 → 237+4×9=273 → 27+3×4=39. Por tanto 237588 es múltiplo de 13.

Geometría

• Si los catetos de un triángulo rectángulo son 12 y 5, su hipotenusa es 13; pues según el teorema de Pitágoras: 12²+5² = 13²
• Cuando en un prisma recto rectangular, las aristas concurrentes miden 3, 4 y 12, entonces la diagonal mide 13; ya que 3²+4²+12² = 13², resultado obtenido al generalizar el teorema de Pitágoras en el espacio.

Otras bases de numeración

• base 2, binario 13=1101
• base 3, ternario 111
• base 4, cuaternario 31
• base 5, quinario 23
• base 6, senario 21
• base 8, octal 15
• base 12, duodecimal 13 = 11
• base 16, hexadecimal 13 = D
• En números romanos XIII
• ordinal decimotercero

Fuentes

• Birkhoff y Mc Lane "Álgebra moderna", Barcelona
• Vorobiov "Criterios de divisibilidad", Editorial Mir Moscú varias ediciones
• Ruiz Arango "Teoría de números" Editorial san Marcos, 1999 Lima.