Número uno

Número uno. Es un número natural, escrito 1 en notación indio-arábiga, I en numeral romano. Tiene un papel protagónico en las matemáticas. Como cardinal, como elemento de sistema numérico; como dígito universal en cualquier sistema de numeración posicional; como elemento especial en estructuras matemáticas y ligado al concepto de existencia y unicidad, como indicador de valor verdadero en la lógica de proposiciones, etc.

Propiedades aritméticas

• Es el primer término de la sucesión de los números enteros positivos: 1,2,3,...
• 1 se toma como los dos valores iniciales de la sucesión de Fibonacci definida por a_n+2 = a_n+1 + a_n. a₁ = 1, a₂ = 1; la sucesión es 1,1,2,3,5,8,...
• 1 es divisor de cualquier número natural.
• Si el mcd(a, b) = 1 se dice que a y b son primos entre sí o primos relativos o coprimos
• a÷1= a para todo a número entero.
• a¹= a, para a natural cualquiera.
• Por definición, en el conjunto N, siguiente de n (n≠ 1) es n+1. Se denota sig(n) = n+1; sig(n) ≠ 1, para todo n.
• y × 1 = y para cualquier número y.

• Por la propiedad aditiva del 0, 0+1 = 1 → sig(0) = 1.
• Si definimos que un número natural p es primo si es > 1 y no tiene divisor h natural ( 1 < h < p), el 1 no puede ser número natural primo.

En diversos sistemas de numeración

• En el sistema binario, base dos se usan sólo los dígitos 1 y 0; 10 = dos base diez. 11 = 3, base diez; off = 0, on = 1; paso de flujo = 1, detención de flujo = 0.
• En el sistema ternario, base tres se usan los dígitos 0, 1,2; 10 = tres base diez, 11 = 4 base diez; 111 = 13 base diez.
• En el sistema duodecimal base doce se usan los dígitos 0, 1,2,...,8, 9, A, B; 11 = 13 base diez; 111 = 157 base diez.
• En el sistema hexadecimal, base 16, fuera de los dígitos usual, se usan letras para indicar del diez al quince; 11 = 17 base 10; 101 = 257.
• En el sistema vigesimal,base 20; 11 = 21 base diez; 111 = 421 base diez.

En sistemas numéricos

• En el conjunto N de los números naturales 1 es el cardinal de conjunto {Φ}
• En el conjunto Z de los números enteros 1 es el representante canónico de la clase de equivalencia {(1; 0), (2; 1); (3; 2);...}. Además da 0 con su opuesto -1.
• En el conjunto Q de los números racionales, 1 es el representante canónico de la clase de equivalencia {(1; 1), (2; 2); (3; 3);...}. Para a ≠ 0, se tiene a×a^-1 = 1.
• En el conjunto R de los números reales es el límite de la sucesión s_n = (1+1/n) cuando n tiende a + infinito. 1 es punto de acumulación de (1; 2)
• En el conjunto C de los números complejos es 1 = 1+0i. El 1 como número complejo tiene exactamente n raíces enésimas complejas.
• 1 como número algebraico es una raíz de la ecuación algebraica x²-1 = 0.
• 1 el el logaritmo de la base logarítmica b, en el sistema de logaritmos de base b, siendo b>0, b≠1.
• Cabe 0⁰= 1, proposición diferente a otra que no admite como base al cero.

Propiedades algebraicas

En sistemas algebraicos

• En los grupos multiplicativos, en vez de e, se usa 1 para representar el elemento neutro multiplicativo.
• En los anillos unitario el 1, representa el elemento tal que a×1 = a, para todo a elemento del anillo R.
• En los campos el 1 es el elemento neutro del grupo K\{0}, provisto del producto.
• En los K-espacios vectoriales, 1 es el escalar tal que 1v = v para todo vector v.

En trigonometría plana

• sen 90º = 1, lo mismo para sen(π/2 +2kπ) para k entero.
• cos 0 = 1, igual resultado para sen(0 +2kπ) para k entero.
• tan 45º = cot 45º = tan(π/4 +kπ) = cot (π/4 +kπ), siendo k entero.
• sen² + cos² = 1
• En la identidad e^iπ -1 = 0 donde e es base los logaritmos neperianos; i, unidad imagiginaria; π= 3.1411592...

En análisis matemático

• f(x) = 1 una función constantes que a todo real le asigna valor 1.
• n^1/n ( raíz enésima de n) → 1, cuando n tiende +infinito.
• Integral definida entre 1 y x de 1/t dt es igual a ln x.

Geometría

• 1 el área de un cuadrado de lado 1
• 1 el volumen de un cubo de arista 1

Fuentes

• Enzo Gentile: Aritmética elemental, publicación de OEA, Wáshington D. C.
• Vicente Ampuero: Aritmética teòrica, Edición de UNMSM, Lima